Estructura hodge

Una estructura de peso de Hodge , o una estructura de Hodge pura , es un objeto que consta de una red en un espacio vectorial real y una descomposición , donde , de un espacio vectorial complejo , que se denomina descomposición de Hodge . En este caso, se debe cumplir la condición , donde es el complejo conjugado en . $norte$ $H_{\matemáticas{Z} }$ $H_{\mathbb{R} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{R}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\bigoplus _{n}H^{p,\;q))$ $n=p+q$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$ ${\bar H}^{{p,\;q}}=H^{{q,\;p}}$ ${\bar H}^{{p,\;q}}$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\bigotimes_{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

De lo contrario, la descomposición de Hodge se puede describir utilizando el concepto de filtración decreciente , o filtración de Hodge , de tal manera que cuando . Entonces los subespacios son restaurados por la fórmula . $F^{r}=\bigoplus_{{p\geqslant r}}H^{{p,\;q}}$ $H_{\mathbb{C} }$ ${\bar F}^{s}\cap F^{r}=0$ $r+s\neq n$ $H^{{p,\;q}}$ $H^{{p,\;q}}={\bar F}^{p}\cap F^{q}$

Esta estructura en el espacio de cohomología -dimensional de una variedad compacta de Kähler fue estudiada por primera vez por W. Hodge [1] . $norte$ $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $X$

En este caso, los subespacios se describen como espacios de formas armónicas del tipo o como cohomologías de haces de formas diferenciales holomorfas [2] . $H^{{p,\;q}}$ $(p,\;q)$ $H^{q}(X,\;\Omega ^{p})$ $\Omega^{p}$

La filtración de Hodge en surge de la filtración de un complejo de gavilla cuya hipercohomología -dimensional es isomorfa por subcomplejos de la forma . $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $\Omega =\sum_{{p\geqslant 0}}\Omega ^{p}$ $norte$ $H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ $\sum _{{r\geqslant p}}\Omega ^{r}$

Estructura mixta de Hodge

Un concepto más general es una estructura de Hodge mixta : este es un objeto que consiste en una red en , filtración creciente o filtración de pesos , en y filtración decreciente (filtración de Hodge) de tal manera que en el espacio de filtración y determinar la estructura de Hodge pura de pesos _ $H_{\matemáticas{Z} }$ $H_{\mathbb{R} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{R}$ $W_{n}$ $H_{\mathbb{Q} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{Q}$ $F^{p}$ $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$ $(W_{n}/W_{n+1})\otimes \mathbb {C}$ $F^{p}$ ${\bar F}^{p}$ $norte$

P. Deligne en su trabajo [ 3] consideró las estructuras mixtas de Hodge en la cohomología de una variedad algebraica compleja (no necesariamente compacta o suave ) como un análogo de la estructura del módulo de Galois en la cohomología étale .

Las estructuras de Hodge tienen importantes aplicaciones en geometría algebraica en la teoría de aplicaciones de períodos y en la teoría de singularidades de aplicaciones suaves [4] .

Notas

↑ Hodge WVD Tho teoría y aplicaciones de integrales armónicas. — 2 ed. —Cambridge, 1952.
↑ Griffiths, F., Harris, J. Principios de geometría algebraica / Per. De inglés. - M. : Mir, 1982. - T. 1. - 518 p.
↑ Deligne P. Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Vancouver, 1974). - 1975. - v. 1. - pág. 70-85.
↑ Varchenko A. N. Problemas modernos de las matemáticas. - Vol. 22. - M., 1983. - pág. 66-130. - (Resultados de la ciencia y la tecnología).