Una estructura de peso de Hodge , o una estructura de Hodge pura , es un objeto que consta de una red en un espacio vectorial real y una descomposición , donde , de un espacio vectorial complejo , que se denomina descomposición de Hodge . En este caso, se debe cumplir la condición , donde es el complejo conjugado en .
De lo contrario, la descomposición de Hodge se puede describir utilizando el concepto de filtración decreciente , o filtración de Hodge , de tal manera que cuando . Entonces los subespacios son restaurados por la fórmula .
Esta estructura en el espacio de cohomología -dimensional de una variedad compacta de Kähler fue estudiada por primera vez por W. Hodge [1] .
En este caso, los subespacios se describen como espacios de formas armónicas del tipo o como cohomologías de haces de formas diferenciales holomorfas [2] .
La filtración de Hodge en surge de la filtración de un complejo de gavilla cuya hipercohomología -dimensional es isomorfa por subcomplejos de la forma .
Un concepto más general es una estructura de Hodge mixta : este es un objeto que consiste en una red en , filtración creciente o filtración de pesos , en y filtración decreciente (filtración de Hodge) de tal manera que en el espacio de filtración y determinar la estructura de Hodge pura de pesos _
P. Deligne en su trabajo [ 3] consideró las estructuras mixtas de Hodge en la cohomología de una variedad algebraica compleja (no necesariamente compacta o suave ) como un análogo de la estructura del módulo de Galois en la cohomología étale .
Las estructuras de Hodge tienen importantes aplicaciones en geometría algebraica en la teoría de aplicaciones de períodos y en la teoría de singularidades de aplicaciones suaves [4] .