Sumas de Weyl

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Las sumas de Weyl son un nombre general para las sumas trigonométricas de un tipo especial.

Definición

Las sumas de Weyl son sumas de la forma

{\displaystyle \displaystyle \sum _{a<n\leqslant b}e^{2\pi si(n)))

donde y la función $n\in {\matemáticas {Z}}$

f(x)=\alpha_{k}x^{k}+\alpha_{k-1}x^{k-1}+\ldots +\alpha_{1}x+\alpha_{ 0}\en \mathbb {R} [x]

es un polinomio de grado con coeficientes reales. El nombre "sumas de Weil" para sumas trigonométricas de este tipo fue propuesto por I.M. Vinogradov en honor a G. Weil , quien primero los examinó en detalle . $k$

Sumas racionales de Weyl

Un ejemplo importante de las sumas de Weyl son las sumas de Weyl racionales, cuando todos los coeficientes de un polinomio son números racionales. Más precisamente, las sumas de Weyl racionales (módulo ) son sumas de Weyl con la función : $f(x)$ $metro$ $f(x)={\frac {P_{k}(x)}{m))$

{\displaystyle \displaystyle \sum _{a<n\leqslant b}e^{2\pi i{\frac {P_{k}(n)}{m))))

donde es un entero fijo, , y $m>1$ $n\in {\matemáticas {Z}}$

P_{k}(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\in \matemáticas {Z} [x]

es un polinomio de grado con coeficientes enteros. $k$

Ejemplos de sumas racionales de Weyl

Si , entonces la suma indicada es una suma trigonométrica lineal . $f(x)=hacha$
Si es un número primo, entonces las sumas de Weyl con un polinomio se denominan sumas de Gauss de orden , y para se denominan sumas de Gauss . $m=pag$ ${\displaystyle f(x)=ax^{k))$ ${\ estilo de visualización (k> 1)}$ $k$ $k=2$
Si es un número primo, entonces para cada uno que no sea múltiplo de , siempre hay un número en el campo de residuos que es inverso a : $m=pag$ $norte$ $pags$ $\mathbb {Z} _{p}$ ${\ estilo de visualización n^{*}}$ $norte$

n^{*}n\equiv 1\mod p

, y al mismo tiempo .

n^{*}\equiv n^{p-2}\mod p

Por lo tanto, las sumas racionales de Weyl con un polinomio se pueden escribir como

P_{p-1}(n)=an^{p-1}+bn

{\displaystyle \displaystyle {\sum _{a<n\leqslant b))'e^{2\pi i{\frac {an^{*}+bn}{p))))

, (la prima en el signo de la suma significa que la suma se realiza sobre todos , no sobre múltiples ) y se denominan sumas de Kloosterman .

norte

pags

Estimaciones para sumas de Weil

Las estimaciones de las sumas de Weil juegan un papel importante en muchos problemas de la teoría analítica de números . Hay varios métodos para estimar las sumas de Weyl. El más simple y famoso de ellos es el método de Gauss.

Véase también

Teorema de distribución uniforme de Weyl

Literatura

SOLDADO AMERICANO. Arkhipov, A.A. Karatsuba, V. N. Chubarikov. Teoría de las sumas trigonométricas múltiples. Moscú: Nauka, 1987.
A ELLOS. Vinogradov. Trabajos seleccionados. M, 1952.