Esferoide de maclaurina

Un esferoide de Maclaurin es un esferoide achatado que se produce cuando un cuerpo de fluido autogravitatorio con una distribución de densidad uniforme gira a una velocidad angular constante. El esferoide lleva el nombre del matemático escocés Colin Maclaurin , quien propuso esta forma de la Tierra en 1742 [1] . De hecho, la Tierra es mucho menos aplanada, ya que no es homogénea y tiene un núcleo denso de hierro. El esferoide de Maclaurin se considera el modelo más simple de una figura elipsoidal de revolución en equilibrio, ya que tiene una densidad constante.

Fórmula de Maclaurin

Para un esferoide achatado con un semieje mayor y un semieje menor, la velocidad angular viene dada por la fórmula de Maclaurin $a$ $C$ $\Omega$

{\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}} (3-2e^{2})\arcsen e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},

donde es la excentricidad de la sección meridional del esferoide, es la densidad, es la constante gravitatoria . La fórmula predice dos tipos posibles de figura de equilibrio en , uno de ellos es una esfera ( ), el otro es un esferoide plano ( ). $mi$ $\rho$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ Omega \ flecha derecha 0}$ ${\ estilo de visualización e \ flecha derecha 0}$ ${\ estilo de visualización e \ flecha derecha 1}$

La velocidad angular máxima ocurre en la excentricidad , el valor del cuadrado de la velocidad angular máxima es igual a , es decir, por encima de esta velocidad, la figura de equilibrio no existe. Esto contradice los datos de observación. La razón de la contradicción puede ser la presencia de dos suposiciones poco realistas: una es que la distribución de la densidad es uniforme, la otra es que la forma de la superficie es una cuádrica simple . $e=0{,}92995$ $\Omega ^{2}=0{,}449331\pi G\rho$

El momento angular de un esferoide de Maclaurin viene dado por $L$

{\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a))))}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac { a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,

donde es la masa del esferoide, es el radio medio, es decir, el radio de una esfera del mismo volumen que el esferoide. En una expresión más simple [3] ${\displaystyle M={\frac {4\pi }{3}}\rho a^{3}{\sqrt {1-e^{2))))$ ${\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}$

L={\frac {2}{5}}M\Omega a^{2}.

Energía cinética del esferoide [3]

K={\frac {1}{5}}M\Omega ^{2}a^{2}.

Sostenibilidad

Para un esferoide de Maclaurin con una excentricidad de más de 0.812670 [3] , el elipsoide triaxial de Jacobi con el mismo momento angular tiene una energía total menor. Si tal elipsoide consiste en un fluido viscoso y no experimenta perturbaciones que puedan romper la simetría de rotación, entonces se estirará y tomará la forma de un elipsoide de Jacobi, mientras que parte de la energía tomará forma térmica. Para un esferoide similar de un fluido no viscoso, las perturbaciones conducirán a oscilaciones no amortiguadas.

El esferoide de Maclaurin con una excentricidad de más de 0,952887 [3] es dinámicamente inestable. Incluso si el objeto consiste en un fluido no viscoso y no pierde energía, las pequeñas perturbaciones crecerán exponencialmente. La inestabilidad dinámica implica inestabilidad secular [4] .

Notas

↑ Maclaurin C. Un tratado de fluxiones: en dos libros. 1. vol. 1. Ruddimans, 1742.
↑ Chandrasekhar S. Figuras elipsoidales de equilibrio. vol. 10. New Haven: Prensa de la Universidad de Yale, 1969.
↑ 1 2 3 4 Poisson E., Will C. Gravedad : newtoniana, posnewtoniana, relativista . - Prensa de la Universidad de Cambridge , 2014. - P. 102-104. — ISBN 1139952390 . Archivado el 23 de octubre de 2017 en Wayback Machine .
↑ Lyttleton AR La estabilidad de las masas líquidas en rotación . - Prensa de la Universidad de Cambridge , 1953. - ISBN 9781316529911 .