Esquema de conversión
El esquema del axioma de reemplazo es la siguiente proposición de la teoría de conjuntos :
- , dónde
![{\displaystyle \forall x\exists ^{\{1\}}y\ (\phi [x,y])\to \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d99111e6dfacf23d1bd36efc8a06eca82891f5)
![{\displaystyle \forall x\existe ^{\{1\}}y\ (\phi [x,y])\Leftrightarrow \forall x\existe !y\ (\phi [x,y])\Leftrightarrow \forall x\existe y\para todo y'(\phi [x,y]\leftrightarrow y=y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0effd6518671747750df776979e0d447d8cecf)
El esquema de transformación se puede formular en ruso, a saber: "Cualquier conjunto se puede transformar en [el mismo u otro] conjunto expresando un juicio funcional sobre todos los elementos de este conjunto ".
Ejemplo En el siguiente ejemplo, un juicio funcional transforma cada conjunto en sí mismo.
![\phi [x,y]\leftrightarrow y=x\quad \Rightarrow \quad \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c= b))\quad \Leftrightarrow \quad \forall a\existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ad526219eb846bd217de2e3629f01cd1c9d41d)
Otras redacciones del esquema de transformación
El esquema de transformación también se escribe de la siguiente forma:
![{\displaystyle \forall a\ (\ \forall b\ (b\in a\to \exists ^{\{1\}}y\ (\phi [b,y])\ )\quad \to \quad \ existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e221b8cfa9d98bad98683d272dab78c6bcd3d3f4)
![{\begin{alineado}a={\mathbb {N}}\ \land \ (\phi [b',y]\leftrightarrow y=2b')\quad \Rightarrow \quad \exists d\forall c\ (c \in d\leftrightarrow \existe b\ (b\in {\mathbb {N))\ \land \ c=2b))\\\ \Leftrightarrow \existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\ en \{0,2,4,...\})\end{alineado}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0e63ee288d0d4aac68b496224ce77597bb453a)
![{\begin{alineado}a={\mathbb {R}}\quad \land \quad (\phi [b',y]\leftrightarrow (b'=0\to y=a_{1})\ \land \ (b'\neq 0\to y=a_{2}))\quad \Rightarrow \\\ \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in {\mathbb {R }}\ \land \ (b=0\to c=a_{1})\land (b\neq 0\to c=a_{2})\ ))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c=a_{2})\end{alineado}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562294cf3a7036c3f4b0588d9f0247e1d9535e5a)
![{\begin{alineado}a={\mathbb {Z}}\quad \land \quad (\phi [b',y]\leftrightarrow (0\leq b'\leq 1\to y=b')\land (\neg (0\leq b'\leq 1)\to y=1))\quad \Rightarrow \\\ \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in { \mathbb {Z}}\land (0\leq b\leq 1\to c=b)\land (b<0\lor b>1\to c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\ forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{n:\ n\in {\mathbb {N}}\ \land \ n<2\}\ )\end{alineado}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f445dafb78f598388851fca2cb6ceeca52232124)
El esquema de transformación también se escribe de la siguiente forma:
- , dónde
![{\displaystyle \forall a\ (\ \forall b\ (b\in a\to \exists ^{\{0,1\}}y\ (\phi [b,y]))\quad \to \quad \existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f7f709637f54fb1788ce624d609d71d96fe25c)
![{\displaystyle \exists ^{\{0,1\}}y\ (\phi [b,y])\Leftrightarrow \forall y\forall y'\ (\phi [b,y]\ \land \ \phi [b,y']\a y=y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f11c89ab2a6e6d3076ae199208d44bffe1d207d)
Von Neumann demostró que este axioma se deriva del axioma de restricción de tamaño . El axioma del esquema de transformación se puede expresar como: si F es una función y A es un conjunto, entonces F ( A ) es un conjunto.
Notas
1. La conexión entre el esquema de transformación y el axioma del par se expresa mediante el siguiente enunciado:
![{\begin{alineado}\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing))\quad \land \quad (\ phi [b',y]\ \leftrightarrow \ (b'=\varnada \to y=a_{1})\land (b'\neq \varnada \to y=a_{2})\ )\\\ \ rightarrow \quad (\exists d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\land \phi [b,c]))\ \rightarrow \ \exists c\forall b \ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2})\ )),\end{alineado}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d8cc95fb9192ed314de121d2af4c9c78dba338)
2. La conexión entre el esquema de transformación y el esquema de selección se expresa mediante el siguiente enunciado:
![{\begin{alineado}\forall a\ (\ x\in \{b:b\in a\land \Phi [b]\}\quad \land \quad (\phi [b',y]\ \leftrightarrow \ (\Phi [b']\to y=b')\land (\neg \Phi [b']\to y=x)\ )\\\ \to \quad (\existe d\forall c\ ( c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\land \phi [b,c]))\ \leftrightarrow \ \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\land \Phi [b]))\ )\end{alineado}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d044534bf04a21cdf6bd26c2bec7c195d5df8e43)
Antecedentes históricos
El esquema de transformación no estaba incluido en los axiomas de la teoría de conjuntos formulados por el matemático alemán Ernst Zermelo en 1908.
El esquema de transformación fue propuesto por Adolf Frenkel en 1922 , un poco más tarde e independientemente de él, el esquema fue propuesto por el matemático noruego Turalf Skolem .