Convergencia en casi todas partes

Una sucesión de funciones converge casi en todas partes a una función límite si el conjunto de puntos para los que no hay convergencia tiene medida cero [1] .

Definición

Sea un espacio con medida , y . Dicen que converge en casi todas partes, y escriben - a.e. si [1] $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\en \mathbb {N}$ $\{f_{n}\}$ $f_{n}\a f$ $\mu$

\mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty}f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0

Terminología de probabilidad

Si existe un espacio de probabilidad , y son variables aleatorias tales que $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\Omega ,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )$ ${\ estilo de visualización Y_ {n}, Y}$

\mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }Y_{n}(\omega )=Y(\omega )\}\ derecha)=1

entonces decimos que la sucesión converge casi con seguridad a [2] . $\{Y_{n}\}$ $Y$

Propiedades de convergencia a.e.

La convergencia puntual obviamente implica convergencia en casi todas partes.
Dejar , donde , y converger en casi todas partes a . Sea también una función tal que para todos y casi todos ( mayorante sumable ). Entonces , y en . Sin una suposición a priori sobre la existencia de una mayorante integrable, la convergencia en casi todas partes (e incluso en todas partes) no implica convergencia en . Por ejemplo, una secuencia de funciones converge a 0 casi en todas partes pero no converge en . $f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )\;\forall n\in \mathbb {N}$ $1\leq p<\infty$ $\{f_{n}\}$ $F$ $g\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $|f_{n}(x)|\leq |g(x)|$ $norte$ $x\en X$ $f\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f_{n}\a f$ $L^{p}$ $L^{p}$ ${\ estilo de visualización n \ chi _ {[0,1/n]}}$ $[0,1]$ ${\ estilo de visualización L^{1}[0,1]}$
La convergencia casi en todas partes implica convergencia en la medida si la medida es finita. Para espacios con medida infinita esto no es cierto [3] .

Véase también

Casi en cualquier parte

Notas

↑ 1 2 Dyachenko, Ulyanov, 1998 , p. 55 §13. convergencia en casi todas partes.
↑ Enciclopedia Matemática, 1985 , p. 313 La convergencia es casi segura.
↑ Dyachenko, Ulyanov, 1998 , p. 57 Teorema 13.2 (ejemplo de Riesz).

Literatura

Dyachenko M. I., Ulyanov P. L. Medida e integral . - M. : "Factorial", 1998.
Enciclopedia Matemática / I.M. Vinogradov. - 1985. - V. 5 (Variable aleatoria - Celda).