Análisis tensorial

El análisis tensorial es una generalización del análisis vectorial , una sección del cálculo tensorial que estudia los operadores diferenciales que actúan sobre el álgebra de los campos tensoriales de una variedad diferenciable . También consideramos operadores que actúan sobre objetos geométricos más generales que los campos de tensores: densidades de tensores, formas diferenciales con valores en un paquete vectorial. $D(M)$ $METRO$

De mayor interés son los operadores cuya acción no conduce fuera del álgebra , entre ellos están la derivada covariante , la derivada de Lie , la derivada externa , el tensor de curvatura de un tensor no degenerado, doblemente covariante . $D(M)$

Derivada covariante

La derivada covariante a lo largo de un campo vectorial es un mapeo lineal del espacio de campos vectoriales de la variedad , dependiendo del campo vectorial y satisfaciendo las condiciones: $X$ $\nabla _{X}$ $D^{1}(H)$ $METRO$ $X$

\nabla _{f}X+{}_{{gV}}Z=f\nabla _{X}Z,

\nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)Y,

donde , , , , son funciones suaves en . La conexión y la traslación paralela definidas por este operador nos permiten extender la acción de la derivada covariante a una aplicación lineal del álgebra en sí misma; además, el mapeo es una diferenciación, conserva el tipo del campo tensorial y permuta con convolución. $X$ $Y$ $Z\en D'(M)$ $F$ $gramo$ $METRO$ $\Gama$ $D(M)$ $\nabla X$

En coordenadas locales, la derivada covariante de un tensor con componentes con respecto a un vector se define como: $u^{1},\;u^{2},\;\ldots,\;u^{n}$ $T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$ $X=\xi ^{i}{\frac {\parcial }{\parcial u^{i))}$

\nabla _{X}T=\xi ^{s}\left({\frac {\parcial T_{{j_{1}\ldots m}}^{{i_{1}\ldots i_{l}}} }{\u parcial^{s}}}+\Gamma_{{k_{s}}}^{{i_{1}}}T_{{j_{1}\ldots j_{m}}}^{{ k\ldots i_{l}}}+\ldots -\Gamma _{{j_{{i,s}}}}^{k}T_{{k\ldots j_{m}}}^{{i_{1 }\ldots i_{l}}}}\derecha),

\Gamma _{{ks}}^{i}

es un objeto de conexión .

\Gama

Derivado de mentira

La derivada de Lie a lo largo del campo vectorial es un mapeo del espacio definido por la fórmula , donde es el conmutador de campos vectoriales , . Este operador también se extiende de manera única a la diferenciación , conserva el tipo de tensores y conmuta con convolución . En coordenadas locales, la derivada del tensor de Lie se expresa de la siguiente manera: $X$ $L_{X}$ $D'(M)$ $L_{X}:Y\a [X,\;Y]$ $[X,\;Y]$ $X$ $Y$ $D(M)$ $T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$

L_{X}T=\xi ^{k}{\frac {\parcial T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l)))){ \parcial u^{k))}+T_{{k\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l))}{\frac {\parcial \xi ^{k)) {\u parcial^{i))}+\ldots -T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{k\ldots i_{l))}{\frac {\parcial \xi ^ {{i_{1}}}}{\u parcial^{k}}}-\ldots

Derivada externa

La diferencial externa (derivada externa) es un operador lineal que asocia una forma diferencial externa (tensor covariante sesgado simétrico) a un grado con una forma del mismo tipo y grado que satisface las condiciones: $d$ $pags$ $p+1$

d(\omega_{1}\cuña \omega_{2})=d\omega_{1}\cuña \omega_{2}+(-1)^{r}\omega_{1}\cuña d\omega _{2},\quad d(d\omega )=0,

donde está el símbolo del producto exterior , es el grado de . En coordenadas locales, la derivada externa del tensor se expresa de la siguiente manera: $\cuña$ $r$ $\omega_{1}$ $\omega \langle \omega _{{i_{1}\ldots i_{p}}}\rangle$

d\omega =\sum_{{n=0}}^{\infty}(-1)^{k}{\frac {\parcial \omega_{{i_{1}\ldots {\hat i}_ {k}\ldots i_{{p+1}}}}}{\parcial u^{{i_{k}}}}}.

El operador es una generalización del operador . $d$ ${\ matemáticas {rot}}$

Tensor de curvatura

El tensor de curvatura de un tensor doblemente covariante no degenerado simétrico es la acción de algún operador no lineal : $g_{{si}}$ $R$

g_{if}\to R_{mlk}^{s}={\frac {\parcial \Gamma _{km}^{s)){\parcial u^{l))}-{\frac { \parcial \Gamma _{kl}^{s}}{\parcial u^{m}}}+\sum _{p}\left(\Gamma _{lp}^{s}\Gamma _{km}^ {p}-\Gamma _{mp}^{s}\Gamma _{kl}^{p}\right)

dónde

\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{es}\left({\frac {\parcial g_{js}}{\parcial u^{k ))}+{\frac {\parcial g_{ks}}{\parcial u^{j}}}-{\frac {\parcial g_{jk}}{\parcial u^{s}}}\right)

Literatura

Sokolnikov I. S. Análisis de tensores. — M .: Nauka, 1971. — 374 p.
Shouten Ya. A. Análisis de tensores para físicos. - M. : Edición principal de literatura física y matemática de la editorial "Nauka", 1965. - 456 p.
Shirokov P. A. Cálculo tensorial. - M. - L .: Gostekhizdat, 1934. - 464 p.