Teorema de bezout

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El teorema de Bezout establece que el resto de dividir un polinomio por un binomio es. $P(x)$ $(xa)$ $Pensilvania)$

Se supone que los coeficientes de un polinomio están contenidos en algún anillo conmutativo con unidad (por ejemplo, en el campo de los números reales o complejos ).

Prueba

Divida el polinomio por el binomio con el resto : $P(x)$ $xa$

P(x)=(xa)Q(x)+R(x),

donde esta el resto Como , entonces es un polinomio de grado no mayor que 0, es decir, una constante, lo denotamos por . Sustituyendo , ya que, tenemos . $R(x)$ $\grados R(x)<\grados(xa)=1$ $R(x)$ $r$ $x=a$ ${\ estilo de visualización (aa) Q (a) = 0}$ $P(a)=R(x)=r$

Consecuencias

Un número es raíz de un polinomio si y sólo si se divide sin resto por un binomio (de ahí, en particular, se sigue que el conjunto de raíces del polinomio es idéntico al conjunto de raíces de la ecuación correspondiente ). $a$ $p(x)$ $p(x)$ $xa$ $P(x)$ $P(x)=0$
El término libre de un polinomio es divisible por cualquier raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros (si el coeficiente principal es 1, entonces todas las raíces racionales también son enteras).
Sea una raíz entera del polinomio reducido con coeficientes enteros. Entonces, para cualquier número entero , el número es un múltiplo de . $a$ $Hacha)$ $k$ $Alaska)$ $Alaska$

Aplicaciones

El teorema de Bezout y sus consecuencias facilitan la búsqueda de raíces racionales de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales.

Véase también

Teorema fundamental del álgebra

Literatura

Vinberg E. B. Curso de álgebra, - M. : Factorial Press Publishing House, 2002, ISBN 5-88688-060-7 .
Piotr Rudnicki (2004). "Pequeño teorema de Bézout (teorema del factor)" (PDF) . Matemáticas formalizadas. 12(1): 49–58.