Teorema de Dirichlet sobre aproximaciones diofánticas

El teorema de Dirichlet sobre las aproximaciones diofánticas establece que [1]

Para cualquier número real y Q natural , existen los números enteros p y q , satisfaciendo la condición $\alfa$ $1\leqslant q\leqslant Q$

|\alfa qp|<{\frac {1}{Q))

Es una consecuencia del principio de Dirichlet . El teorema fue probado por Dirichlet en 1842.

Algunas consecuencias

Sea un número irracional . Entonces hay un conjunto infinito de fracciones irreducibles infinitamente cercanas en el siguiente sentido [1] : $\alfa$ ${\frac{p}{q)),$ $\alfa$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2))))

La construcción práctica de tales aproximaciones es fácil de realizar utilizando fracciones continuas .

Variaciones y generalizaciones

El principio de Dirichlet nos permite demostrar un teorema más general:

para cualquier numero real y natural existen enteros tales que ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1},..., \ alfa _ {n}}$ ${\ estilo de visualización Q> 1}$ ${\displaystyle 0<q<Q,a_{1},...,a_{n))$

{\displaystyle |\alpha _{i}q-a_{i}|<{\frac {1}{\sqrt[{n}]{Q))))

Notas

↑ 1 2 Nesterenko Yu. V., 2008 , p. 187-189.

Literatura

Nesterenko Yu. V. Teoría de números: un libro de texto para estudiantes. más alto libro de texto establecimientos - M. : Centro Editorial "Academia", 2008. - 272 p. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .