Teorema de Egorov

El teorema de Egorov establece que una secuencia de funciones medibles que converge casi en todas partes en un determinado conjunto converge uniformemente en un subconjunto suficientemente grande de este.

Redacción

Sea dado un espacio con una medida finita tal que , y una secuencia de funciones medibles definida en él que converge en casi todas partes a . Entonces para cualquiera existe un conjunto tal que , y la sucesión converge uniformemente a sobre . $(X,\mathcal{F},\mu)$ $\mu (X)<\infty$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $F$ $\varepsilon >0$ $X_{\varepsilon}\subconjunto X$ $\mu (X\setminus X_{\varepsilon})<\varepsilon$ $\{f_{n}\}$ $F$ ${\ Displaystyle X_ {\ varepsilon}}$

Notas

La convergencia derivada del teorema a menudo se denomina convergencia casi uniforme .
La finitud es esencial. Sea, por ejemplo, , donde es un σ-álgebra de Borel sobre , y es la medida de Lebesgue de . Tenga en cuenta que Sea , donde denote la función indicadora del conjunto . Luego converge a cero puntualmente , pero no converge uniformemente en ningún complemento de un conjunto de medida finita. ${\ estilo de visualización \ mu (X)}$ $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B))(\mathbb {R} ),m)$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\matemáticas {R}$ $metro$ $m(\mathbb {R} )=\infty$ $f_{n}(x)=\mathbf {1} _{[n,n+1]}(x),\;x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N}$ $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\{f_{n}\}$

Variaciones y generalizaciones

El teorema de Egorov se generaliza naturalmente al caso de funciones con valores en un espacio de Banach . [una]

teorema de luzin

Notas

↑ Heinonen, Juha, et al. Espacios de Sobolev sobre espacios de medidas métricas. vol. 27. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2015.

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. cuarto, revisado. — M .: Nauka , 1976. — 544 p.
Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. - 2do. — M .: Fizmatlit , 1961. — 436 p.

Dmitri Egoroff , Sur les suites des fonctions mensurables. CR Acad. ciencia París, (1911) 152: 135–157.
Bogachev V.I. , Sobre la historia del descubrimiento de los teoremas de Egorov y Luzin, Investigación histórica y matemática , vol. 48 (13), 2009.