Teorema de Carathéodory-Fejer

Teorema de Carathéodory -Fejer :

Dejar

{\displaystyle P(z)=~c_{0}+~c_{1}z+\ldots +c_{n-1}z^{n-1))

polinomio , . Solo hay una función racional. $P\no \equiv 0$

R(z)=R(z,~c_{0},~c_{1},\ldots,~c_{n-1})

tipo

$R(z)=\lambda {{\bar {\alpha }}_{n-1}+{\bar {\alpha }}_{n-2}z+\ldots +{\bar {\alpha }}_{0}z^{n-1} \over \alpha _{0}+\alpha _{1}z+\ldots +\alpha _{n-1}z^{n-1}},\ \lambda >0,$

regular en y teniendo en su desarrollo en la serie de Maclaurin los primeros coeficientes iguales a , respectivamente . Esta función, y solo ella, implementa el valor más pequeño ${\ estilo de visualización \ izquierda | z \ derecha | \ leqslant 1}$ $norte$ ${\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots,~c_{n-1))$

M_{f}=\sup _{\left|z\right|<1}\left|f(z)\right|

en la clase de todas las funciones regulares en el círculo de la forma ${\ estilo de visualización \ izquierda | z \ derecha | <1}$ $f(z)$

f(z)=P(z)+~a_{n}z^{n}+\ldots,

y el valor más pequeño especificado es

\lambda =\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots,~c_{n-1})

El número es igual a la raíz positiva más grande de la ecuación del grado th ${\ estilo de visualización \ lambda (c_{0}, ~ c_ {1}, \ ldots, ~ c_ {n-1})}$ $2n$

{\begin{vmatrix}-\lambda &0&\ldots &0&c_{0}&c_{1}&\ldots &c_{n-1}\\0&-\lambda &\ldots &0&0&c_{0}&\ldots &c_{ n-2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\0&0&\ldots &-\lambda &0&0&\ldots &c_{0}\\{\bar {c_{0}}}&0&\ldots &0&-\lambda &0&\ldots &0\\{\bar {c_{1}}}&{\bar {c_{0}}}&\ldots &0&0&-\lambda &\ ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\{\bar {c}}_{n-1}&{\bar {c}} _{n-2}&\ldots &{\bar {c}}_{0}&0&0&\ldots &-\lambda \end{vmatrix}}

Si son números reales , entonces son el mayor de los valores absolutos de las raíces de la ecuación de grado ésimo ${\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots,~c_{n-1))$ ${\ estilo de visualización \ lambda (c_{0}, ~ c_ {1}, \ ldots, ~ c_ {n-1})}$ $norte$

{\begin{vmatrix}-\lambda &0&\ldots &0&c_{0}\\0&-\lambda &\ldots &c_{0}&c_{1}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots & \ldots \\c_{0}&c_{1}&\ldots &c_{n-2}&c_{n-1}-\lambda \end{vmatrix}}=0

Literatura

Carathéodory C., Fejer L. Rend. Tapete Circolo. Palermo, - 1911, v. 32, pág. 218-239.
Goluzin G. M. Teoría geométrica de funciones de una variable compleja, 2ª ed., - M. , 1966.