Teorema de las dos series de Kolmogorov

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 25 de agosto de 2017; la verificación requiere 1 edición .

El teorema de las dos series de Kolmogorov en la teoría de la probabilidad establece una condición suficiente para la convergencia con la probabilidad de una serie de variables aleatorias independientes . El teorema de las dos series de Kolmogorov se puede utilizar para demostrar la ley fuerte de los grandes números .

Para que una serie de variables aleatorias independientes converja con probabilidad uno , es suficiente que dos series converjan simultáneamente: y . Si, además, , entonces esta condición también es necesaria. ${\ estilo de visualización \ suma \ xi _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ suma M \ xi _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ suma D \ xi _ {n}}$ $\sum P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1$

Prueba

Si , entonces converge según el teorema de convergencia de Kolmogorov-Khinchin . Pero por suposición, la serie converge, entonces la serie también converge . $\sum D\xi _{n}<\infty$ ${\ estilo de visualización \ suma (\ xi _ {n} -M \ xi _ {n})}$ $M\xi _{n}$ ${\ estilo de visualización \ suma \ xi _ {n}}$

Para probar la necesidad, usamos el siguiente método de "simetrización". Junto con la secuencia, considere una secuencia de variables aleatorias independientes de ella que tenga la misma distribución que . ${\ estilo de visualización \ xi _ {1}, \ xi _ {2} ...}$ ${\ estilo de visualización \ xi _ {1}^ {'}, \ xi _ {2} ^ {'}...}$ ${\ estilo de visualización \ xi _ {n} ^ {'}}$ ${\ estilo de visualización \ xi _ {n}, n \ geqslant 1}$

Entonces, si la serie converge , entonces la serie converge y, por lo tanto, la serie . Pero también _ Por lo tanto, según el teorema de convergencia de Kolmogorov-Khinchin . ${\ estilo de visualización \ suma \ xi _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ suma \ xi _ {n} ^ {'}}$ ${\ estilo de visualización \ suma (\ xi _ {n} - \ xi _ {n}^ {'})}$ $METRO(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})=0$ $PAGS(|\xi _{n}-\xi _{n}^{'}|\leqslant 2c)=1$ $\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$

siguiente _ Por lo tanto, según el teorema de convergencia de Kolmogorov-Khinchin , la serie converge con probabilidad uno y, por lo tanto, la serie también converge . $\sum D\xi _{n}={\frac {1}{2}}\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$ ${\ estilo de visualización \ suma (\ xi _ {n} -M \ xi _ {n})}$ ${\ estilo de visualización \ suma M \ xi _ {n}}$

Entonces, de la convergencia de la serie (bajo el supuesto se sigue que ambas series y convergen. ${\ estilo de visualización \ suma \ xi _ {n}}$ $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1)$ ${\ estilo de visualización \ suma M \ xi _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ suma D \ xi _ {n}}$

Literatura

Shiryaev A. N. Probabilidad. - 3ª ed., revisada. y adicional .. - M . : MTSNMO , 2004. (Capítulo 4 § 2 sección 1)