Teorema de Lagrange (teoría de números)

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En teoría de números, el teorema de Lagrange es un enunciado, llamado así por Joseph-Louis Lagrange, sobre las condiciones bajo las cuales el valor de un polinomio con coeficientes enteros puede ser un múltiplo de un número primo fijo .

Redacción

Si es un número primo , es un polinomio de grado con coeficientes enteros , entonces [1] : $pags$ $f(x)$ $norte$

o todos los coeficientes son múltiplos $f(x)$ ${\ estilo de visualización p;}$
o la comparación tiene como máximo soluciones. $f(x)\equiv 0{\pmod {p))$ $norte$

Notas

Si todos los coeficientes son múltiplos , entonces cualquier valor es una solución a la comparación dada. $f(x)$ $pags,$ $X$
La simplicidad de un módulo es esencial; para un módulo compuesto , el teorema, en términos generales, no es cierto. Por ejemplo, comparación: tiene 4 soluciones [2] : $pags$ $x^{2}-1\equiv 0{\pmod {8}}$ $x\equiv 1;3;5;7{\pmod {8)).$

Demostración del teorema de Lagrange

Sea un polinomio sobre el anillo obtenido al reemplazar cada coeficiente con el módulo de clase de residuo correspondiente $g(x)$ $\mathbb {Z} /p$ $f(x)$ $pags.$

Lema 1. es divisible por si y solo si Prueba . Si es divisible por entonces y , por construcción, cae en la misma clase de residuos que está en la clase cero. Y viceversa, si ese cálculo arroja un resultado de una clase de residuo que contiene, es decir, divisible por ■ $fa)$ $pags$ ${\ estilo de visualización g (a) = 0.}$ $fa)$ $pags,$ ${\ estilo de visualización g (a)}$ $pags,$ ${\ estilo de visualización g (a) = 0,}$ $fa)$ $pags,$ $pags.$

Lema 2. Un polinomio , si no es un polinomio cero, no puede tener más raíces. Prueba. Dado que es un número primo, es un cuerpo y un polinomio de grado distinto de cero en cualquier cuerpo tiene como máximo raíces, porque cada raíz suma un monomio a la expansión del polinomio ■ ${\ estilo de visualización g (x),}$ $norte$ $pags$ $\mathbb {Z} /p$ $norte$ $norte$ $r$ ${\ estilo de visualización (xr).}$

Demostración del teorema . Si es un polinomio cero, entonces, de acuerdo con su construcción, esto significa que todos los coeficientes son múltiplos En caso contrario, se sigue del primer lema que el número de soluciones de la ecuación incomparable en valor absoluto coincide con el número de raíces del polinomio que, según el segundo lema, no excede de ■ $g(x)$ $f(x)$ $pags.$ $norte$ $f(x)\equiv 0{\pmod {p))$ ${\ estilo de visualización g (x).}$ $norte.$

Variaciones y generalizaciones

El teorema de Lagrange es válido no sólo para polinomios sobre el anillo de los enteros, sino también para polinomios sobre cualquier otro dominio de integridad [3] . ${\ matemáticas {Z}),$

Notas

↑ Vinogradov, 1952 , pág. 60
↑ Davenport, 1965 , pág. 55.
↑ Enciclopedia Matemática, 1982 , p. 174.

Literatura

Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números. - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 60-65. — 180 s.
Davenport G. Aritmética superior / ed. Yu. V. Linnik , trad. B. Z. Moroz - M. : Nauka , 1965. - S. 54-55. — 176 pág.
Teorema de Lagrange // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 3. - S. 174.