Teorema de Picard (ecuaciones integrales)

Teorema de Picard (ecuaciones integrales) : un teorema sobre la existencia y unicidad de una solución para la ecuación integral de Fredholm del primer tipo.

Una ecuación integral de Fredholm de primera clase con núcleo simétrico cerrado de la forma , donde tiene solución única en la clase de funciones si y sólo si la serie converge. $K(t, s)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ $f(t)\en L_{{2}}[a,b]$ $L_{{2}}[a, b]$ $\sum_{{k=1}}^{{\infty}}\lambda_{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$

Explicaciones

En la formulación del teorema , los números característicos del núcleo , son los coeficientes de Fourier de la función con respecto a las funciones propias de este núcleo: . Un kernel simétrico se llama cerrado si cada función que satisface la igualdad es igual a cero en casi todo el intervalo . Para un núcleo cerrado, sus funciones propias forman un sistema ortogonal completo de funciones. $\lambda _{{k}}$ $K(t, s)$ $f_{k}=(f,\phi _{{k}})$ $pie)$ $\phi _{n}(t)$ $\phi_{{n}}(t)=\lambda_{{n}}\int \limits_{{a}}^{{b}}K(t,s)\phi_{{n}} (s)ds$ $K(t, s)$ $L_{{2}}[a, b]$ $\sigma (t)\en L_{{2}}[a,b]$ $\int \limites _{a}^{b}K(t,s)\sigma (s)ds=0$ $[a,b]$ $L_{{2}}[a, b]$

Prueba

Supongamos que hay una solución a la ecuación . $\phi (t)\en L_{{2}}[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$

Encontremos los coeficientes de Fourier de la función con respecto a las funciones propias de este núcleo: . $pie)$ $\phi _{n}(t)$ $f_{{n}}=\int \limits_{{a}}^{{b}}f(t)\phi_{{n}}(t)dt=\int \limits_{{a}} ^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds\right\}\phi _{{n}}(t)dt =\int \limits _{{{a}}^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t) dt\right\}\phi (s)ds={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s) \phi(s)ds$

Aquí, en la segunda igualdad, se usa que, por la condición del teorema , en la cuarta igualdad, que, por la simetría del núcleo, . $f(t)=\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t)dt={\frac {1}{\lambda _{n}}}\phi _{ {n}}(s)$

La igualdad se puede reescribir como . De ello se deduce que los números son los coeficientes de Fourier de la función . En virtud del conocido teorema del análisis matemático, una serie de cuadrados de estos coeficientes es convergente. $f_{{n}}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s) ds$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}$ $\phi (t)\en L_{{2}}[a,b]$ $\sum_{{k=1}}^{{\infty}}\lambda_{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$

Supongamos, por el contrario, que la serie converge. Entonces, en virtud del teorema de Riesz-Fisher, existe una función única para la cual los números son coeficientes de Fourier con respecto al sistema de funciones , es decir, las igualdades se cumplen para todos . Esta función satisface la ecuación integral , ya que en virtud de la propia construcción de las funciones y tienen los mismos coeficientes de Fourier con respecto al sistema completo de funciones propias del núcleo . Así, las funciones y son idénticas en la métrica . $\sum_{{k=1}}^{{\infty}}\lambda_{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$ $\phi (t)\en L_{{2}}[a,b]$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}$ ${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ $n(n=1,2,...)$ $\fi (t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ $\fi (t)$ $pie)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ ${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ $K(t, s)$ $pie)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ $L_{{2}}[a, b]$

Literatura

Krasnov M. L. Ecuaciones Integrales, Moscú, Nauka, 1975.