Ecuación integral de Fredholm

La ecuación integral de Fredholm [1] es una ecuación integral cuyo núcleo es el núcleo de Fredholm . Nombrado así por el matemático sueco Ivar Fredholm . Con el tiempo, el estudio de la ecuación de Fredholm se convirtió en una sección independiente del análisis funcional : la teoría de Fredholm , que estudia los núcleos de Fredholm y los operadores de Fredholm .

Teoría general

La teoría general basada en las ecuaciones de Fredholm se conoce como teoría de Fredholm . La teoría considera una transformación integral de una forma especial

$\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$

donde la función se llama núcleo de la ecuación y el operador se define como $k$ $A$

$A\varphi = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$ , se llama operador de Fredholm (o integral).

Uno de los resultados fundamentales es el hecho de que el núcleo de K es un operador compacto , también conocido como operador de Fredholm . La compacidad se puede mostrar usando continuidad uniforme . Como operador, la teoría espectral se puede aplicar al núcleo , estudiando el espectro de valores propios .

Ecuación de primer tipo

La ecuación no homogénea de Fredholm de primera clase tiene la forma:

g(t)=\int\limits_a^b\!K(t,s)f(s)\,ds

y el problema es que, para una función continua dada del núcleo y la función, encuentre la función . $K(t, s)$ $g(t)$ $f$

Si el núcleo es una función de la diferencia de sus argumentos, es decir , y los límites de integración , entonces el lado derecho de la ecuación se puede reescribir como una convolución de funciones y , y, por lo tanto, la solución viene dada por la fórmula $K(t,s)=K(ts)$ $\pm \infty$ $k$ $F$

f(t) = \mathcal{F}_\omega^{-1}\left[ {\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t[K(t )](\omega)} \right]=\int\limits_{-\infty}^\infty\!{\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t [K(t)](\omega)}e^{2\pi i \omega t}\,d\omega

donde y son las transformadas de Fourier directa e inversa , respectivamente. Las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una solución están definidas por el teorema de Picard . ${\mathcal {F}}_{t}$ $\mathcal{F}_\omega^{-1}$

Ecuación de segundo tipo

La ecuación de Fredholm no homogénea del segundo tipo se ve así:

\varphi (s)=\lambda \int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt+f(s)

El problema es encontrar la función, teniendo un núcleo y una función . En este caso, la existencia de una solución y su multiplicidad dependen de un número llamado número característico (su inverso se llama propio ). El enfoque de solución estándar utiliza la noción de un resolvente ; la solución escrita como una serie se conoce como la serie de Liouville-Neumann . $K(t, s)$ $pie)$ $\varfi (t)$ $\lambda$

Notas

↑ BRE . Consultado el 18 de junio de 2020. Archivado desde el original el 20 de junio de 2020. (indefinido)

Enlaces

Ecuaciones Integrales: Soluciones Exactas - de EqWorld: El Mundo de las Ecuaciones Matemáticas.

Ecuaciones Integrales: Métodos de Solución - de EqWorld: El Mundo de las Ecuaciones Matemáticas.

Lectura sugerida

A. D. Polianina, A. V. Manzhirov. manual de ecuaciones integrales. Moscú, Fizmatlit, 2003.