Teorema de Plancherel

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El teorema de Plancherel es un enunciado sobre las propiedades de la transformada de Fourier . Afirma que para cualquier función cuyo módulo cuadrado sea integrable, existe y está determinada de forma única hasta valores sobre un conjunto de medida cero una función que es su transformada de Fourier. Fue probado por Plancherel en 1910 [1] . Desempeña un papel importante en el análisis funcional.

Redacción

Para toda función de variable real , que pertenece al conjunto de funciones cuyo módulo cuadrático es integrable en el intervalo , existe una función de variable real , también perteneciente al intervalo , tal que $f(x)$ ${\ estilo de visualización L^{2}}$ $\left(-\infty,\infty\right)$ $g(x)$ ${\ estilo de visualización L^{2}}$ $\left(-\infty,\infty\right)$

\lim _{A\to \infty}\int \limits _{-\infty}^{\infty}\left|g(u)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi} }}\int \limits _{-A}^{A}f(x)e^{iux}dx\right|^{2}du=0

Las ecuaciones también cumplen:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)\right|^{2}du=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ izquierda|f(x)\derecha|^{2}dx

\lim _{A\to \infty}\int \limits _{-\infty}^{\infty}\left|f(x)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi} }}\int \limits _{-A}^{A}g(u)e^{-iux}du\right|^{2}dx=0

La función , que es la transformada de Fourier de la función , se define unívocamente hasta sus valores sobre un conjunto de medida cero [2] . $Gu)$ $f(x)$

Véase también

Notas

↑ Plancherel, Michel & Mittag-Leffler (1910), Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par les intégrales définies , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Vol. 30 (1): 289–335 , DOI 10.1007/ BF03014877
↑ N. Wiener , R. Paley Transformada de Fourier en el dominio complejo. - M., Nauka, 1964. - pág. 10-11

Literatura

C. Bochner Conferencias sobre integrales de Fourier. - M., Fizmatlit, 1962. - 360 p.