Teorema del producto de segmentos de cuerdas

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El teorema del producto de segmentos de cuerdas describe la relación de los segmentos formados por dos cuerdas que se cortan de un círculo. El teorema establece que los productos de las longitudes de los segmentos de cada una de las cuerdas son iguales.

Enunciado del teorema

Para dos cuerdas AC y BD que se cortan en el punto S , se cumple la siguiente igualdad:

Lo contrario también es cierto, es decir, si para dos segmentos AC y BD que se cortan en el punto S, se cumple la igualdad anterior, entonces sus extremos A , B , C y D se encuentran en el mismo círculo. En otras palabras, si las diagonales del cuadrilátero ABCD se cortan en el punto S y se cumple la igualdad anterior, entonces este cuadrilátero se inscribe .

Punto de grado

El valor de dos productos en el teorema de la cuerda depende de la distancia del punto de intersección S al centro del círculo y se denomina valor absoluto del grado del punto S. Más precisamente, esto se puede expresar de la siguiente manera:

donde r es el radio del círculo y d es la distancia entre el centro del círculo y el punto de intersección S . Esta propiedad se sigue directamente de la aplicación del teorema de la cuerda a la tercera cuerda por el punto S y el centro del círculo M (ver figura).

Junto con el teorema de la secante y la tangente y el teorema de las dos secantes , el teorema de las cuerdas que se intersecan es uno de los tres casos principales de un teorema más general sobre dos rectas que se intersecan y un círculo: el teorema de la potencia puntual .

Prueba del teorema

El teorema se puede probar usando triángulos similares (a través del teorema del ángulo inscrito ). Considere los ángulos de los triángulos ASD y BSC :

(ángulos basados ​​en la cuerda AB) (ángulos basados ​​en CD de acordes) (esquinas verticales)

Esto significa que los triángulos ASD y BSC son semejantes, y por lo tanto:

Puedes ver una ilustración interactiva del teorema y su prueba [1] [2] .

Notas

  1. ↑ Amit Quackenbush. Teorema  de las cuerdas que se cortan . GeoGebra . Consultado el 30 de abril de 2021. Archivado desde el original el 21 de enero de 2021.
  2. ↑ Josías Fan Ern Wei. Teorema  de la cuerda que se corta . GeoGebra . Consultado el 30 de abril de 2021. Archivado desde el original el 21 de enero de 2021.

Literatura