Teorema del punto de densidad

El teorema del punto de densidad es un resultado de la teoría de la medida , que puede entenderse intuitivamente en el sentido de que el conjunto de "puntos límite" de un conjunto medible tiene una medida cero.

Redacción

Denote por la medida de Lebesgue en el espacio euclidiano . Sea un conjunto medible. Para un punto arbitrario y considere el valor $\lambda$ $\mathbb{R} ^{n}$ $A\subconjunto \mathbb {R} ^{n}$ $x\en \mathbb{R} ^{n}$ $\varepsilon >0$

d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))))

donde denota una bola con centro en y radio . El valor se puede interpretar como la densidad aproximada del conjunto en el punto . ${\ Displaystyle B_ {\ varepsilon} (x)}$ $X$ $\varepsilon$ $d_{\varepsilon}(x)$ $A$ $X$

Después

d(x)=\lim_{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon}(x)

existe y es igual a 1 para casi todos los puntos . $x \ en A$

Notas

El valor , si está definido, se denomina densidad del conjunto en el punto . ${\ estilo de visualización d (x)}$ $A$ $X$
En otras palabras, el teorema establece que la densidad de cualquier conjunto medible toma el valor 0 o 1 en casi todas partes de . $A\subconjunto \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{n}$
Si un conjunto y su complemento tienen una medida positiva, entonces siempre habrá puntos con densidad ni 0 ni 1.

Ejemplos

Por ejemplo, dado un cuadrado en el plano, la densidad en cada punto dentro del cuadrado es 1, en los lados 1/2, en los vértices 1/4 y 0 fuera del cuadrado; bordes y vértices tienen medida cero.

Variaciones y generalizaciones

El teorema del punto de densidad es un caso especial del teorema de diferenciación de Lebesgue .

Literatura

Natanson IP Teoría de funciones de variable real. - M. , 1974.