Teorema de completitud

El teorema de completitud es un enunciado sobre las propiedades de las representaciones de grupos finitos de que cualquier función en un grupo finito puede expandirse en términos de los elementos de la matriz de representaciones irreducibles de este grupo. Los coeficientes de esta expansión se denominan coeficientes de Fourier por analogía con la teoría de las series trigonométricas. Desempeña un papel importante en la aplicación de los métodos de la teoría de grupos en la física [1] .

Redacción

Cualquier función en un grupo finito se puede expandir en términos de elementos de matriz de representaciones irreducibles: ${\ estilo de visualización F (h)}$ $GRAMO$

F(h)=\sum_{i=1}^{\sigma}\sum_{m,n=1}^{s_{i}}C_{mn}^{(i)}\tau _ {mn}^{(i)}(h)

donde: es el número total de representaciones irreducibles no equivalentes del grupo , es el número de vectores de la base canónica de la -ésima representación irreducible, son los elementos de la matriz de la -ésima representación irreducible. $\sigma$ $GRAMO$ ${\ Displaystyle s_ {yo}}$ $i$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {mn} ^ {(i)))$ $i$

Prueba

Definimos una representación regular sobre un grupo utilizando el operador que actúa en el espacio de funciones sobre el grupo y definido por la relación $T$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización T (g)}$ $\Fi$

T(g)\phi (h)=\psi (h)\equiv\phi (hg)

(una),

donde es una función arbitraria en el grupo. ${\ estilo de visualización \ phi (h)}$

El operador define la representación del grupo en el espacio , desde y en virtud de . ${\ estilo de visualización T (g)}$ $T$ $GRAMO$ $\Fi$ $T(e)=E$ $T(g_{1})T(g_{2})=T(g_{1}g_{2})$ $T(g_{1})T(g_{2})\phi (h)=T(g_{1})\psi (h)=\psi (hg_{1})=\phi (hg_{ 1}g_{2})=T(g_{1}g_{2})\fi (h)$

El espacio se puede representar como una suma de subespacios: $\Fi$

{\displaystyle \Phi =\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\Phi _{m}^{(\alpha )))

debido a que, como toda representación de un grupo finito, una representación es una suma de representaciones irreducibles. Aquí , son los subespacios que se transforman bajo la acción del operador sobre la representación irreducible , es un número entero, lo que significa el número de ocurrencias de la representación en la representación regular . $T$ ${\displaystyle \Phi _{m}^{(\alpha )},m=1,...,m_{\alpha ))$ ${\ estilo de visualización T (g)}$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {\ alfa}}$ ${\ Displaystyle m_ {\ alfa}}$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {\ alfa}}$ $T$

Usemos el hecho de que en cada subespacio hay una base canónica, un conjunto de funciones , que se transforman bajo la acción de operadores como: ${\ estilo de visualización \ Phi _ {m} ^ {(\ alfa)})$ ${\displaystyle \phi _{j}^{\alpha m}(h),j=1,2,...,s_{\alpha ))$ ${\ estilo de visualización T (g)}$

T(g)\phi_{j}^{\alpha m}(h)=\sum_{l=1}^{s_{\alpha }}\tau_{lj}^{\alpha } (g)\phi _{l}^{\alfa m}(h)

(2)

Se puede obtener una base en un espacio combinando las funciones base de todos sus subespacios y calculando así los coeficientes . Como resultado, obtenemos: $\Fi$ ${\displaystyle C_{j}^{\alfa m))$

{\displaystyle F(h)=\sum_{\alpha =1}^{\sigma}\sum_{m=1}^{m_{\alpha}}\sum_{j=1}^{s_{ \alpha }}C_{j}^{\alpha m}\phi _{j}^{(\alpha m)))

(3)

Para completar la demostración, definimos las funciones . De las fórmulas (1, 2) obtenemos: ${\ estilo de visualización \ phi _ {j} ^ {(\ alfa m)})$

\phi _{j}^{\alpha m}(hg)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\ phi _{l}^{(\alfa m)}(h)

Pongamos esta fórmula . La fórmula se verá así: ${\ estilo de visualización h = e}$

\phi _{j}^{\alpha m}(g)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\ phi _{l}^{(\alfa m)}(e)

Así, cualquier función se expande en una serie de elementos de la matriz . De la igualdad (3) se sigue que una función arbitraria tiene la misma propiedad [2] . ${\ estilo de visualización \ phi _ {j} ^ {\ alfa m} (g)}$ ${\displaystyle \tau _{lj}^{\alpha }(g),l=1,2....,s_{\alpha ))$ ${\ estilo de visualización F (h)}$

Véase también

Coeficientes de Fourier

Notas

↑ Lyubarsky, 1986 , pág. 181.
↑ Lyubarsky, 1986 , pág. 183.

Literatura

Lyubarsky G. Ya. Teoría de grupos y física. — M .: Nauka, 1986. — 224 p.