El teorema AF + BG (también conocido como el teorema fundamental de Max Noether ) es un teorema en geometría algebraica .
Sean F , G y H polinomios homogéneos en tres variables, y el máximo común divisor de los polinomios F y G es una constante (es decir, las curvas proyectivas definidas por estos polinomios tienen un número finito de puntos comunes en el plano proyectivo P2 ) . Para cada punto P de intersección de estas curvas, los polinomios F y G generan el ideal (F, G) P del anillo local P 2 en el punto P (este anillo es un anillo fraccionario de la forman / d , donde n y d son polinomios en tres variables, y d ( P ) ≠ 0). El teorema establece que si H pertenece al ideal (F, G) P para todo punto de intersección de P , entonces existen polinomios homogéneos A y B de grados grado( H ) − grado( F ) y grado( H ) − grado( G ), respectivamente, para lo cual H = AF + BG . Las condiciones del teorema se cumplen, en particular, en la situación en que las curvas [ F = 0] y [ G = 0] se cortan transversalmente y la curva [ H = 0] pasa por todos sus puntos de intersección.