Topología inducida

La topología inducida es una forma natural de definir una topología en un subconjunto de un espacio topológico.

Definición

Sea dado un espacio topológico , donde es un conjunto arbitrario y es una topología definida sobre . Deja también . Definimos una familia de subconjuntos de la siguiente manera: $(X,\;\mathcal{T})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$ $Y\subconjunto X$ ${\mathcal {T}}_{Y}$ $Y$

{\mathcal {T}}_{Y}=\{U\cap Y\mid U\in {\mathcal {T}}\}.

Es fácil verificar cuál es la topología en . Esta topología se denomina topología inducida . Un espacio topológico se llama subespacio . ${\mathcal {T}}_{Y}$ $Y$ $\mathcal{T}$ $(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ $(X,\;\mathcal{T})$

Esta construcción puede generalizarse. Sea un conjunto arbitrario, sea un espacio topológico y sea una aplicación arbitraria en . Entonces tomamos como posibles todos los conjuntos posibles de la forma ( ), donde son conjuntos abiertos en . La topología se denomina topología inducida por mapeo . Es bueno porque la visualización en esta topología automáticamente se vuelve continua. Es la más débil (contiene la menor cantidad de conjuntos) de todas las topologías espaciales posibles para las cuales el mapeo será continuo. $X$ $(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ $f:X\a Y$ $X$ $Y$ ${\mathcal {T}}_{X}$ $f^{-1}$ $V$ $V$ $Y$ ${\mathcal {T}}_{X}$ $F$ $F$ $X$ $F$

Ejemplo

Sea una línea real con topología estándar . Entonces la última topología inducida en el conjunto de todos los números naturales es discreta . $\matemáticas {R}$ $\mathbb {N} \subconjunto \mathbb {R}$