Subconjunto

Un subconjunto en la teoría de conjuntos es el concepto de una parte de un conjunto.

Definición

Un conjunto se llama subconjunto del conjunto si todos los elementos que pertenecen a también pertenecen a [1] . Definicion formal: $A$ $B$ $A$ $B$

(A\subset B)\Leftrightarrow \left(\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)\right)\,

Hay dos sistemas de notación simbólica para subconjuntos:

" es un subconjunto de (no estricto)" se denota $A$ $B$	" es un subconjunto estricto " se denota $A$ $B$	Nota
$A\subconjunto B$	$A\subconjunto B$	El símbolo es un análogo , es decir, en caso de que se permita la igualdad de conjuntos; $\subseteq$ $\leq$ $A\subconjunto B$ $A=B$ el carácter es un análogo de , es decir, en el caso de que haya elementos que no estén en . $\subconjunto$ ${\ estilo de visualización <}$ $A\subconjunto B$ $B$ $A$
$A\subconjunto B$	$A\subsetneq B$	Se utiliza un símbolo más simple para "subconjunto (no estricto)" porque se considera más "fundamental".

Ambos sistemas de notación son proporcionados por el estándar ISO 31-11 , pero usan el símbolo en diferentes sentidos, lo que puede generar confusión. En este artículo, utilizaremos la última notación. $\subconjunto$

Un conjunto se llama superconjunto de un conjunto si es un subconjunto de un conjunto . $B$ $A$ $A$ $B$

Se escribe lo que es un superconjunto del conjunto , es decir $B$ $A$ $B\supset A$ $(A\subconjunto B)\Leftrightarrow (B\supset A)\,.$

El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto se denota y se llama booleano . $A$ ${\mathcal {P}}(A)$

Los conjuntos y se llaman iguales sólo cuando constan de los mismos elementos, es decir, y . [2] $A$ $B$ ${\ estilo de visualización A = B}$ $A\subconjunto B$ $B\subconjunto A$

Subconjunto propio e impropio

Cualquier conjunto entre sus subconjuntos se contiene a sí mismo y al conjunto vacío . El conjunto en sí y el conjunto vacío se denominan subconjuntos impropios , los subconjuntos restantes se denominan propios [3] . $B$ $B$

Es decir, si queremos excluirse a sí mismo y al conjunto vacío de la consideración, usamos el concepto de subconjunto propio , que se define de la siguiente manera: $B$

el conjunto es un subconjunto propio del conjunto sólo si y , .

A

B

A\subconjunto B

{\ estilo de visualización A \ neq B}

A\neq \varnada

Literatura Extranjera

En la literatura extranjera, los subconjuntos impropios en el sentido anterior (el propio conjunto B y el conjunto vacío) se denominan triviales , y los subconjuntos propios se denominan no triviales , y el término " subconjunto propio " se utiliza en el sentido de "inclusión estricta de A en B ” o “subconjunto de A , estrictamente incluido en el conjunto B , es decir, aquel que no pertenece a por lo menos un elemento del conjunto B ”, es decir, aquí el concepto de “ subconjunto propio ” ya, por el contrario , incluye el conjunto vacío.

En este caso, si además se quiere excluir de la consideración el conjunto vacío, se debe utilizar la noción de subconjunto no trivial , que se define de la siguiente manera:

un conjunto es un subconjunto no trivial del conjunto si es su propio subconjunto (subconjunto propio) y .

A

B

A

B

A\neq \varnada

Ejemplos

Los conjuntos son subconjuntos de un conjunto. ${\displaystyle \varnada,~\{0\},~\{1,3,4\},~\{0,1,2,3,4,5\))$ ${\ estilo de visualización \ {0,1,2,3,4,5\}.}$
Los conjuntos son subconjuntos triviales (impropios) del conjunto ; todos los demás subconjuntos de los elementos del conjunto son no triviales o propios. $\varnada,~\{0,1,2,3,4,5\}$ ${\ estilo de visualización \ {0,1,2,3,4,5\},}$
Los conjuntos son subconjuntos de un conjunto. $\{\varnothing,\uparrow,{\mbox{oca))\},~\{\$,\%,*,\uparrow \},~\{\varnothing \},~\varnothing$ $\{\$,\%,\varnothing,\uparrow,*,{\mbox{oca))\}.$
Deja que luego $A=\{a,b\}.$ ${\mathcal {P}}(A)=\{\varnada,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}.$
deja _ Entonces y también (es decir, C no es un subconjunto estricto ni no estricto de A ). ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\;B=\{1,2,3\},\;C=\{4,5,6,7\))$ $B\subconjunto A,\;C\no \subconjunto A,$ ${\ estilo de visualización \ neg (C \ subsetneq A)}$

Propiedades

La relación de subconjunto tiene una serie de propiedades [4] .

La relación de subconjunto es una relación de orden parcial :
- La relación de subconjunto es reflexiva : ${\ estilo de visualización B \ subconjunto B}$
- La relación de subconjunto es antisimétrica : $(A\subconjunto B\;\land \;B\subconjunto A)\Leftrightarrow (A=B)$
- La relación de subconjunto es transitiva : $(A\subconjunto B\;\land \;B\subconjunto C)\Rightarrow (A\subconjunto C)$
El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier otro, por lo que es el conjunto más pequeño con respecto a la relación de subconjunto: ${\ estilo de visualización \ varnada \ subconjunto B}$
Para tres conjuntos cualesquiera y tales que todas las declaraciones: $A,$ $B$ $X$ ${\ estilo de visualización A, B \ subconjunto X,}$
- ${\ estilo de visualización A \ subconjunto B;}$
- $A\cap B=A;$
- $A\taza B=B;$
- $X\setminus B\subconjunto X\setminus A;$
- $(A\cap X)\setminus B=\varnada;$
- $A\cap (X\setminus B)=\varnada;$
- $(X\setminus A)\cup B=X;$
- $B^{\complemento}\subconjunto A^{\complemento}$

son equivalentes [5] .

Subconjuntos de conjuntos finitos

Si el conjunto original es finito, entonces tiene un número finito de subconjuntos. Es decir, el conjunto de elementos tiene subconjuntos (incluido el vacío ). Para verificar esto, basta notar que cada elemento puede estar incluido o no en un subconjunto, lo que significa que el número total de subconjuntos será un producto de dos veces. Si consideramos solo subconjuntos del conjunto de elementos de elementos, entonces su número se expresa mediante el coeficiente binomial . Para verificar este hecho, puede seleccionar los elementos del subconjunto secuencialmente. El primer elemento se puede elegir de una manera, el segundo de una manera, y así sucesivamente, y finalmente el enésimo elemento se puede elegir de una manera. Así, obtenemos una secuencia de elementos y exactamente un subconjunto corresponde a tales secuencias. Por lo tanto, hay tales subconjuntos en total. $norte$ $2^{n}$ $norte$ $norte$ ${\ Displaystyle k \ leq n}$ $\textstyle {\binom {n}{k))$ $norte$ $n-1$ $k$ ${\ estilo de visualización n-k + 1}$ $k$ $k!$ $\textstyle {\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!)}={\binom {n}{k))$

Notas

↑ Birkhoff, 1976 , pág. diez.
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N., Romankov V. A. Álgebra general. Volumen 1. - M., Nauka, 1990. - p. once
↑ Subconjunto. // Diccionario enciclopédico matemático. / ed. Yu. V. Prokhorov . - M., Enciclopedia soviética, 1988. - p. 465
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Capítulo 2. Números Reales // Análisis Matemático / Ed. A. N. Tijonova . - 3ra ed. , revisado y adicional - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 65. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Kelly J. Topología general. - M., Nauka, 1981. - pág. dieciséis

Literatura

Vereshchagin N.K., Shen A. Conferencias sobre lógica matemática y teoría de algoritmos. Parte 1. Comienzos de la teoría de conjuntos.- 3ra ed., estereotipo. - M. : MTSNMO, 2008. - 128 p. - ISBN 978-5-94057-321-0 .
Birkhoff G. , Barty T. Álgebra aplicada moderna. — M .: Mir, 1976. — 400 p.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Subset (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

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