Espacio ultramétrico

Un espacio ultramétrico es un caso especial de un espacio métrico en el que la métrica satisface la desigualdad del triángulo fuerte :

{\displaystyle d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\))

Tal métrica se llama ultramétrica . En pocas palabras, en el espacio ultramétrico es imposible obtener una distancia mayor agregando otras más pequeñas, es decir, no se respeta el “principio de Arquímedes” .

Definición

Un espacio ultramétrico es un par , donde es un conjunto y es una función de valor real sobre él, también llamada métrica , que satisface las siguientes condiciones: ${\ estilo de visualización (M, d)}$ $METRO$ $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$

$d(x,y)\geqslant 0,d(x,y)=0\iff x=y$ ( definición positiva )
${\ estilo de visualización d (x, y) = d (y, x)}$ ( simetría )
${\displaystyle d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\))$ ( desigualdad triangular fuerte )

Un espacio ultramétrico se diferencia de uno métrico en que la desigualdad triangular se reemplaza por una desigualdad triangular reforzada.

Propiedades

Todo triángulo es isósceles, y si no todos sus lados son iguales, entonces uno es más corto que los otros dos.
Cada punto de la pelota es su centro.
Si dos bolas tienen un punto común, o bien coinciden, o bien una contiene enteramente a la otra.
La topología de un espacio ultramétrico es completamente discontinua .

Ejemplos

Una métrica discreta (es decir, la distancia entre dos puntos es 0 si coinciden y 1 si no lo son) es una ultramétrica.
La métrica on es tal que para , y . ${\ estilo de visualización 1,2, \ puntos, n, \ puntos}$ ${\ Displaystyle d (n, m) = d_ {n))$ $n<m$ $d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant ...d_{n}\geqslant ...\geqslant 0$
Un conjunto de palabras de longitud arbitraria en algún alfabeto con ultramétrico dado como , donde es el número del primer símbolo que es diferente en las palabras y . $\Sigma$ ${\displaystyle d(a,b)=2^{-n))$ $norte$ $a$ $b$
Los números p-ádicos forman un espacio ultramétrico con un ultramétrico natural.
Los modelos dotados de ultrametría natural surgen en la teoría de la información al estudiar secuencias de caracteres y en la física del estado sólido al estudiar vidrios giratorios .

Literatura

B. Becker, S. Vostokov, Yu. Ionin. 2-números ádicos // Kvant . - 1979. - T. 2 . - S. 26-31 .