Ecuación de Wiener-Hopf

La ecuación de Wiener-Hopf es una ecuación integral lineal con un núcleo de diferencia en el semieje positivo:

\beta \varphi (x)=\lambda \int _{0}^{\infty}K(xs)\varphi (s)\,ds+f(x),

donde está la función deseada ; , son funciones conocidas, son parámetros. Cuando se denomina ecuación de Wiener-Hopf de primera especie, cuando se denomina ecuación de Wiener-Hopf de segunda especie. Fue obtenido por Wiener y Hopf al resolver el problema del equilibrio radiativo en el interior de las estrellas. También se utiliza en cibernética , al resolver problemas de extracción y filtrado de una señal útil a partir de su mezcla con ruido. $\varfi(x)$ $f(x)$ $K(xs)$ ${\ estilo de visualización \ lambda, \ beta}$ $\beta=0$ $\beta=1$

Método de solución

Para la solución, el llamado. funciones unidireccionales e igual a y para x>0 e igual a 0 para x<0 y una función igual a 0 para x>0. Con la ayuda de funciones unidireccionales, la ecuación se escribe en la forma: . Así, con la ayuda de funciones unilaterales, el dominio de definición de la ecuación se extiende al semieje negativo. Luego se aplica la transformada directa de Fourier . Para la ecuación de la imagen, se resuelve el problema del valor límite de Riemann, es decir funciones y están definidas . La solución de la ecuación integral es la transformada inversa de Fourier de la función : . ${\ estilo de visualización \ varphi _ {+} (x)}$ ${\ estilo de visualización f_ {+} (x)}$ $\varfi(x)$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {-} (x)}$ $\beta \varphi _{+}(x)=\lambda \int _{-\infty}^{+\infty}K(xs)\varphi _{+}(s)\,ds+f_{ +}(x)+\varphi _{-}(x)$ $\varphi ^{\pm }(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi _{\pm }(x)e^{iux}dx$ $\varphi ^{+}(u)={\frac {f^{+}+\varphi ^{-}}{\beta -\lambda K^{*}(u)))$ ${\ estilo de visualización \ varphi ^ {-}}$ ${\ estilo de visualización \ varphi ^ {+))$ ${\ estilo de visualización \ varphi ^ {+))$ $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{+}(u)e^ {-iux}du$

Literatura

Enciclopedia física. T.1. Editor en jefe AM Prokhorov. Enciclopedia M. Sov. 1988.
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Myshkis AD "Matemáticas para universidades técnicas", espec. cursos, 2ª ed., San Petersburgo, editorial Lan, 2002, 640 págs., ISBN 5-8114-0395-X , cap. 7 "Ecuaciones integrales", ítem 4 "Algunas clases especiales de ecuaciones", ítem 8 "Ecuación de Fredholm con núcleo de diferencia en el semieje".
Gokhberg I. Ts., Feldman I. A. Ecuaciones en circunvoluciones y métodos de proyección para su solución, M., editorial "Nauka", 1971, 352 p.