Ecuación de Langevin

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La ecuación de Langevin es una ecuación diferencial estocástica que describe el movimiento browniano .

La primera ecuación estudiada por Langevin describía el movimiento browniano a potencial constante, es decir, la aceleración de una partícula browniana de masa se expresa en términos de la suma de la fuerza de fricción viscosa, que es proporcional a la velocidad de la partícula ( ley de Stokes ). , el término de ruido (un nombre que se usa en física para referirse a un proceso estocástico en la ecuación diferencial ) - debido a colisiones continuas de una partícula con moléculas líquidas, y - una fuerza sistemática que surge de interacciones intramoleculares e intermoleculares: $\matemáticas {a}$ $metro$ ${\mathbfv}$ ${\ símbolo de negrita \ eta} (t)$ ${\mathbf\Phi}({\mathbfx})$

m\mathbf{a} = m\frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} = \mathbf \Phi(\mathbf x) - \gamma \mathbf{v} + \boldsymbol\eta(t ).

Solución de la ecuación

Reescribamos la ecuación de Langevin sin fuerzas externas. Además, sin pérdida de generalidad, sólo se puede considerar una de las coordenadas.

m{\ddot x}=-{\frac {1}{B}}{\dot x}+F(t)

Supondremos que la fuerza aleatoria cumple las siguientes condiciones:

\langle F(t)\rangle =0

\langle F(t_{1})F(t_{2})\rangle =b\delta (t_{1}-t_{2})

donde b es una constante, que definiremos más adelante, es la función delta de Dirac . Los corchetes angulares indican el promedio de tiempo . Este es el llamado. variable aleatoria correlacionada delta: su función de autocorrelación es igual a la función delta. Este proceso aleatorio también se denomina ruido blanco . $\delta (t_{1}-t_{2})$

Reescribamos la ecuación en términos de velocidad:

{\punto v}=-\lambda v+{\frac Fm}

, dónde

\lambda ={\frac{1}{mB}}

Sea en el momento inicial de tiempo que la partícula tenía una velocidad . Buscaremos una solución en la forma: , entonces para obtenemos la siguiente ecuación diferencial: $t=t_{0}$ $v_{0}$ $v(t)=u(t)\exp(-\lambda t)$ $Utah)$

{\punto u}(t)=\exp(\lambda t){\frac Fm}

Como resultado, obtenemos la expresión deseada para la velocidad:

v(t)=v_{0}\exp(-\lambda t)+\exp(-\lambda t)\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(\tau )}{m }}\exp(\lambda\tau)d\tau

Dos relaciones importantes se derivan de esto:

$\langle v(t)\rangle =v_{0}\exp(-\lambda t)$ . Es decir, el valor medio de la velocidad tiende a cero con el tiempo.
$\langle v^{2}(t)\rangle =v_{0}^{2}\exp(-2\lambda t)+{\frac {b}{2\lambda m^{2}}}\left (1-\exp(-2\lambda t)\right)$ . El cuadrado medio de la velocidad tiende al valor a lo largo del tiempo . Si asumimos que la energía cinética de la partícula tiende a energía térmica con el tiempo, entonces podemos determinar el valor del coeficiente : ${\frac{b}{2\lambda m^{2}}}$ $b$

b=2{\frac{k_{B}T}{B}}

Al transformar la expresión original, puedes obtener que:

{\frac {d\left\langle x^{2}(t)\right\rangle {dt))={\frac {2}{\lambda ))\left\langle \left({\ fracción {dx}{dt}}\right)^{2}\right\rangle

\left\langle \mathbf {x} ^{2}\right\rangle =6k_{B}TBt

¿De dónde viene la relación de Einstein ?

D=k_{B}TB

donde B es la movilidad de la partícula browniana .

Enlaces

Café WT, Yu. P. Kalmykov, JT Waldron, La ecuación de Langevin, con aplicaciones a problemas estocásticos en física, química e ingeniería eléctrica (segunda edición), Serie científica mundial sobre física química contemporánea - Vol. 14. (La primera edición es el vol. 10)
Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics , McGraw Hill New York, 1965. Consulte la sección 15.5 Ecuación de Langevin