Ecuación de londres

La ecuación de London (en algunas fuentes, la ecuación de London) establece una relación entre la corriente y el campo magnético en los superconductores . Fue obtenido por primera vez en 1935 por los hermanos Fritz y Heinz London [1] . La ecuación de London proporcionó la primera explicación satisfactoria del efecto Meissner , el decaimiento del campo magnético en los superconductores. Luego, en 1953, se obtuvo la ecuación de Pippard para superconductores puros.

La ecuación de Londres

El significado completo del mecanismo de ordenación en la superconductividad fue reconocido por primera vez por el físico teórico Fritz London [2] . Al darse cuenta de que una descripción electrodinámica basada únicamente en las ecuaciones de Maxwell , en el límite de resistencia cero, inevitablemente predeciría el comportamiento irreversible de un conductor ideal y no daría el diamagnetismo reversible de un superconductor, London introdujo una ecuación adicional. La forma de esta ecuación se puede obtener de varias formas, por ejemplo, minimizando la energía libre con respecto a la distribución de corriente y campo [3] o asumiendo la rigidez absoluta de las funciones de onda superconductoras con respecto a la acción de un elemento externo . campo; para nuestros propósitos, sin embargo, basta considerarla como una hipótesis intuitiva plenamente justificada por su éxito.

La ecuación propuesta por London es

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatorname {rot} \mathbf {j} +\mathbf {B} =0,

donde es la densidad de corriente, es la inducción magnética, , m y q son la masa y la carga de los portadores de corriente superconductores, y n es la densidad de estos portadores. $\matemáticas {j}$ $\matemáticas {B}$ $\lambda^2 = \frac{mc^2}{4 \pi nq^2}$

Profundidad de penetración de Londres

Usando la ecuación de Maxwell , uno puede escribir la ecuación de London en la forma [4] $\operatorname {rot} \mathbf {B} ={\frac {4\pi \mathbf {j} {c))$

\mathbf {B} '+\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {B} '=0,

donde B ′ es la derivada del vector B con respecto al tiempo t . Esta ecuación se satisface por B = const. Pero tal solución no es consistente con el efecto Meissner-Ochsenfeld, ya que debe haber un campo B = 0 dentro del superconductor.La solución adicional resultó porque la operación de diferenciación de tiempo se aplicó dos veces en la derivación. Para excluir automáticamente esta solución, los London introdujeron la hipótesis de que en la última ecuación la derivada B ′ debería ser reemplazada por el propio vector B. Esto da

\mathbf {B} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {B} =0.

La solución de esta ecuación en la región superconductora con dimensiones lineales mucho más grandes es $\lambda$

\mathbf {B} (\xi )=\mathbf {B} (0)\exp {\frac {-\xi }{\lambda )),

donde es la inducción a una profundidad debajo de la superficie. El parámetro tiene la dimensión de longitud y se denomina profundidad de penetración de Londres del campo magnético. Es decir, el campo magnético penetra en el superconductor solo hasta una profundidad de . Para metales µm. $\mathbf{B}(\xi)$ $\xi$ $\lambda$ $\lambda$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ sim 10 ^ {-2))$

La naturaleza de la superconductividad

La ecuación de London proporciona la clave para comprender la naturaleza del ordenamiento de los superconductores. Introduciendo el vector potencial , donde , usando el calibre y considerando un superconductor simplemente conectado, llegamos a la ecuación de London en la forma $\matemáticas {A}$ $\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mathbf {B}$ $\operatorname{div} \mathbf{A} = 0$

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j} +\mathbf {A} =0.

En presencia de un vector potencial, el momento generalizado de una partícula cargada viene dado por

\mathbf {P} =\sum \mathbf {p} =2\sum \left(m\mathbf {v} +{\frac {q\mathbf {A} }{c}}\right)

La cantidad de movimiento promedio por partícula se puede escribir como

{\bar {\mathbf {p} }}={\frac {q}{c}}\left({\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j } +\mathbf {A} \right)=0.

Por tanto, el orden superconductor se debe a la condensación de los portadores de corriente en un estado con el menor momento posible . Al mismo tiempo, del principio de incertidumbre se sigue que la escala de ordenamiento espacial correspondiente es infinita, es decir, obtenemos una "coherencia" infinita y la imposibilidad de afectar el sistema de electrones por campos localizados en el espacio. $\mathbf{P} = 0$

La primera ecuación de London

La ecuación de movimiento para una unidad de volumen de electrones superconductores en un campo eléctrico tiene la forma

nm{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=ne\mathbf {E} ,

donde , , son la concentración, la velocidad y la masa de electrones (superconductores), respectivamente. Introduciendo la densidad de sobrecorriente según , obtenemos la primera ecuación de London: $norte$ $\mathbf{v}$ $metro$ $\mathbf{j} = no \mathbf{v}$

\mathbf {E} ={\frac {d}{dt}}(\Lambda \mathbf {j} ),\quad \Lambda ={\frac {m}{ne^{2}}}.

Segunda ecuación de London (derivación)

Usemos las ecuaciones de Maxwell en la forma

\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j}

para encontrar la densidad de volumen de la energía cinética de los electrones superconductores:

\mathbf {W} _{k}={\frac {nmv^{2}}{2}}={\frac {mj^{2}}{2ne^{2}}}={\frac {\lambda ^{2}}{8\pi }}(\operatorname {rot} \mathbf {H} )^{2},

dónde $\lambda ^{2}={\frac {mc^{2}}{4\pi ne^{2}}}.$

Además, la densidad de volumen de la energía magnética es , entonces la energía libre se puede escribir como ( es energía libre sin campo magnético) integral sobre el volumen del superconductor: ${\frac {H^{2}}{8\pi }}$ $F_{0}$

F=F_{0}+{\frac {1}{8\pi }}\int [H^{2}+\lambda ^{2}(\operatorname {rot} \mathbf {H} )^ {2}]\,dV.

La primera variación sobre el campo es igual a

\delta F={\frac {1}{8\pi }}\int [2\mathbf {H} \,\delta \mathbf {H} +2\lambda ^{2}\operatorname {rot} \mathbf {H} \operatorname {rot} \delta \mathbf {H} ]\,dV={\frac {1}{4\pi }}\int [\mathbf {H} +\lambda ^{2}\ operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {H} ]\,\delta \mathbf {H} \,dV-{\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}\int \operatorname { div} [\operatorname {rot} \mathbf {H} ;\delta \mathbf {H} ]\,dV=0.

Teniendo en cuenta que la segunda integral es igual a cero (según la fórmula de Gauss-Ostrogradsky, se reduce a una integral sobre la superficie, donde la variación es igual a cero), tenemos

\mathbf {H} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {H} =0,

que junto con la expresión del potencial vectorial , la primera ecuación de London y la elección del calibre de London , da la ecuación requerida: $\mathbf {j} =-{\frac {c}{4\pi \lambda ^{2))}\mathbf {A}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {div} (\ mathbf {A}) = 0}$ $\mathbf {A} \mathbf {n} =0$

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatorname {rot} \mathbf {J} +\mathbf {B} =0.

Véase también

ecuación de Pippard

Notas

↑ Londres, F.; H. Londres. Las ecuaciones electromagnéticas del supraconductor // Proc . Roy. soc. (Londres) : diario. - 1935. - Marzo ( vol. A149 , núm. 866 ). — Pág. 71 .
↑ F. London , Superfluidos, vol. 1. Wiley, Nueva York, 1950.
↑ PG de Gennes , Superconductividad de metales y aleaciones. Benjamín, Nueva York. 1966 (ver traducción: M., Mir, 1968).
↑ Sivukhin. DV Curso general de física. proc. Subsidio: Para universidades. En 5 volúmenes T III. Electricidad. - 4ª edición. - M. : MIPT, 2004. - S. 321–322. — 656 pág. — ISBN 5-9221-0227-3 . - ISBN 5-89155-086-5 .

Literatura

Tilly D.R., Tilly J. Superfluidez y superconductividad. — M .: Mir, 1977. — 304 p.