Ecuaciones de Dehn-Sommerville

Las ecuaciones de Dehn-Somerville son un conjunto completo de relaciones lineales para el número de caras de diferentes dimensiones en un poliedro simple . Estas ecuaciones se pueden reescribir para politopos simpliciales ya que estos últimos son politopos duales a simples.

Redacción

Para un poliedro de dimensión simple dado , se denota por el número de caras de dimensión ; en particular, . Considere la suma formal $norte$ $PAGS$ $f_{k}$ $PAGS$ $k$ ${\ estilo de visualización f_ {n} = 1}$

{\displaystyle \sum_{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum_{k}h_{k}\cdot t^{k))

donde , es decir, los coeficientes surgen naturalmente al abrir los paréntesis de la suma izquierda. $h_{k}=\sum _{i\geqslant k}f_{i}(-1)^{ik}{\binom {i}{k))$ ${\ Displaystyle h_ {k}}$

Entonces las ecuaciones de Dehn-Somerville tienen la forma

{\displaystyle h_{k}=h_{nk))

por cada entero . $k$

Definiciones relacionadas

La secuencia se llama vector f del poliedro. ${\ estilo de visualización (f_ {0}, f_ {1}, \ puntos, f_ {n})}$
La secuencia se llama vector h del poliedro. ${\ estilo de visualización (h_{0}, h_ {1}, \ puntos, h_ {n})}$
- Si es una función lineal en posición general, es decir, todos los vértices del poliedro se encuentran en diferentes niveles , entonces es igual al número de vértices del índice ; es decir, exactamente las aristas de este vértice descienden a lo largo de . Las ecuaciones de Dehn-Somerville se obtienen reemplazando con . $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $PAGS$ $\ana$ ${\ Displaystyle h_ {k}}$ $PAGS$ $k$ $k$ $\ana$ $\ana$ ${\ estilo de visualización - \ ell}$
  - Además, obtenemos para cualquier , esto da desigualdades no triviales para el vector. $h_{k}\geqslant0$ $k$ $F$

Historia

En las dimensiones 4 y 5 las relaciones fueron descritas por Max Dehn [1] . En el caso general, las ecuaciones fueron descritas por Duncan Somerville en 1927.

Notas

↑ M. Dehn, 1905, "Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie", Math. Ann.61 (1905), 561-586

Literatura

V. A. Timorín. Combinatoria de poliedros convexos . - MTSNMO, 2002. - (Escuela de verano “Matemáticas Modernas”). — ISBN 5-94057-024-0 .