La probabilidad condicional

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La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento dado que el evento ha ocurrido. La probabilidad de un evento calculada bajo el supuesto de que ya se sabe algo sobre el resultado del experimento (el evento ha ocurrido), la denotaremos por . Por ejemplo, la probabilidad de que alguna persona tenga tos en un día aleatorio . Pero si sabemos o asumimos que una persona tiene un resfriado, es mucho más probable que comience a toser. Así, la probabilidad condicional de tos en cualquier persona, siempre que esté resfriada, es mayor . $A$ $B$ $A$ $B$ $P(A|B)$ ${\ estilo de visualización 5 \%}$ ${\ estilo de visualización 75 \%}$

Un caso especial obvio: muy bien ilustrado por el chiste " Una encuesta de Internet mostró que el 100% de los encuestados usa Internet". $P(A|A)=1=100\%$

La probabilidad condicional es uno de los conceptos más fundamentales y uno de los más importantes de la teoría de la probabilidad.

Si , entonces los eventos y se denominan independientes, es decir, la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro. Además, en general, . Por ejemplo, si tiene fiebre del dengue (evento ), entonces la probabilidad de obtener un resultado positivo en la prueba de fiebre (evento ) es . Por el contrario, si su prueba de dengue da positivo, las posibilidades de que lo tenga son solo . En este caso, un evento (presencia de dengue) ocurrió bajo la condición del evento (prueba positiva), es decir, . Cuando las dos probabilidades se igualan erróneamente, surgen varios conceptos erróneos, como el porcentaje de error base . Para calcular con precisión la probabilidad condicional, se utiliza el teorema de Bayes . $P(A|B)=P(A)$ $A$ $B$ $P(A|B)\neq P(B|A)$ $B$ $A$ ${\ estilo de visualización 90 \%}$ $P(A|B)=90\%$ ${\ estilo de visualización 15 \%}$ $B$ $A$ $P(B|A)=15\%$

Definición

Según el evento

Definición de Kolmogorov

Sean dos eventos y pertenecen a - el campo del espacio de probabilidad y . La probabilidad condicional bajo la condición es igual al cociente de dividir la probabilidad de eventos y por la probabilidad : $A$ $B$ $\sigma$ $P(B)>0$ $A$ $B$ $A$ $B$ $B$

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)))$

Tenga en cuenta que esta es una definición y no un resultado teórico. Simplemente denotamos el valor como y lo llamamos probabilidad condicional bajo la condición . ${\displaystyle {\displaystyle {\frac {P(A\cap B)}{P(B)))))$ $P(A|B)$ $A$ $B$

La probabilidad condicional como axioma de probabilidad

Algunos autores, como de Finetti , prefieren introducir la probabilidad condicional como axioma de probabilidad:

$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$ .

Probabilidad condicional como la probabilidad de un evento condicional

La probabilidad condicional se puede denotar como la probabilidad de un evento condicional . Se supone que la prueba subyacente a los hechos ya se repite. Entonces la probabilidad condicional es ${\ estilo de visualización A_ {B}}$ $A$ $B$

${\displaystyle {\displaystyle P(A_{B})={\frac {P(A\cap B)}{P(B)))))$ ,

que corresponde a la definición de probabilidad condicional de Kolmogorov. Tenga en cuenta que la ecuación es un resultado teórico, no una definición. La definición en términos de eventos condicionales se puede entender en términos de los axiomas de Kolmogorov y, especialmente cerca de la interpretación de probabilidad de Kolmogorov, en términos de datos experimentales. Por ejemplo, los eventos condicionales pueden repetirse, lo que lleva al concepto generalizado de evento condicional. Pueden escribirse como una secuencia de variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas , lo que implica una ley fuerte de los grandes números para la probabilidad condicional: ${\displaystyle {\displaystyle P(A_{B})=P(A\cap B)/P(B)))$ ${\displaystyle A_{B(n))).$ ${\displaystyle (A_{B(n)})_{n\geq 1)),$

${\displaystyle P({\underset {n\longrightarrow \infty }{\lim )){\overline {A_{B}^{n))}=P(A|B))=100\%} .$

Definición de conjunto teórico

Si , entonces, según la definición, no se da la probabilidad condicional. Sin embargo, se puede definir con respecto al σ-álgebra de tales eventos (por ejemplo, los que surgen de una variable aleatoria continua). ${\ estilo de visualización P (B) = 0}$ $P(A|B)$

Por ejemplo, si y son variables aleatorias no degeneradas y conjuntamente continuas con una densidad de distribución y tienen una medida positiva, entonces $X$ $Y$ ${\ Displaystyle f_ {X, Y} (x, y)}$ $B$

${\displaystyle P(X\in A\mid Y\in B)={\frac {\int_{y\in B}\int_{x\in A}f_{X,Y}(x ,y)\,dx\,dy}{\int _{y\in B}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy }}.}$

El caso en que la medida es igual a cero es problemático. Si , entonces la probabilidad condicional se puede escribir como $B$ $B=\{y_{0}\}$

${\displaystyle P(X\in A\mid Y=y_{0})={\frac {\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{0})\ ,dx}{\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}},}$

sin embargo, este enfoque conduce a la paradoja de Borel-Kolmogorov . El caso general de medida cero es aún más problemático porque el límite, como todos tienden a cero, ${\ estilo de visualización \ delta y_ {i}}$

${\displaystyle P(X\in A\mid Y\in \cup _{i}[y_{i},y_{i}+\delta y_{i}])\approxeq {\frac {\sum _ {i}\int_{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i)){\sum_{i}\int_{ x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}},}$

depende de su actitud ya que tienden a cero.

La probabilidad correctamente condicional en forma general se puede definir como una expectativa matemática condicional de la función indicadora. En este caso, dado que la expectativa matemática condicional se especifica casi en todas partes, la probabilidad condicional de un evento con probabilidad cero puede extenderse arbitrariamente. La situación cambia si el evento depende de algún parámetro. En este caso, aunque la probabilidad del valor de cada parámetro puede resultar ser cero y, por lo tanto, la probabilidad condicional para cada parámetro no se especifica formalmente, es posible definir la probabilidad condicional dependiente del parámetro de modo que esté bien definida casi En todas partes.

Según la variable aleatoria

Sea una variable aleatoria y sea un evento. La probabilidad condicional bajo la condición se denota como una variable aleatoria que toma el valor $X$ $A$ $A$ $X$ ${\ estilo de visualización P (A | X)}$

$PAG(A\mid X=x)$

cuando sea

${\ estilo de visualización X = x.}$

Esto se puede escribir de manera más formal.

$P(A|X)(\omega )=P(A\mid X=X(\omega )).$

Ahora bien, la probabilidad condicional ya es una función de : por ejemplo, si la función se define como ${\ estilo de visualización P (A | X)}$ $X$ $gramo$

${\displaystyle g(x)=P(A\mid X=x),}$

después

${\displaystyle {\displaystyle P(A|X)=g\circ X.))$

En particular, se da solo en casi todas partes. En el caso general, es correcto introducir a través de la esperanza matemática condicional: la esperanza matemática condicional de la función con respecto a la variable aleatoria . En el caso de una variable aleatoria discreta , es correcto usar la definición de teoría de conjuntos, ya que los eventos tienen una probabilidad distinta de cero. ${\ estilo de visualización P (A | X)}$ ${\ estilo de visualización P (A | X)}$ $gramo$ $X$ $X$ $x = x$

Probabilidad condicional parcial

Probabilidad condicional parcial de un evento bajo la condición de eventos que ocurren con probabilidad no igual a ${\displaystyle {\displaystyle PAGS(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m)))))$ $A$ $Bi}$ $bi}$ ${\ estilo de visualización 100 \%.}$

La probabilidad condicional parcial tiene sentido si las condiciones se prueban en una serie de iteraciones del experimento. Tal probabilidad condicional parcial acotada se puede definir como la expectativa condicional de que ocurra un evento en una serie de comprobaciones que cumplen todas las especificaciones probabilísticas , es decir: $norte$ $norte$ $A$ $norte$ ${\displaystyle B_{i}\equiv b_{i))$

${\displaystyle P^{n}(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})=E({\overline {A^{n)) }|{\sobrelínea {B_{1}^{n}}}=b_{1}\cdots {\sobrelínea {B_{m}^{n}}}=b_{m}})}$

Con base en esto, la probabilidad condicional parcial se puede escribir como

${\displaystyle P(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})={\underset {n\longrightarrow \infty }{lim}}P^ {n}(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})}$ , dónde $b_{i},n\en \mathbb {N}$

Ejemplos

Supongamos que alguien lanza dos dados justos de seis caras y tenemos que predecir el resultado.

Sea el valor lanzado en el primer dado. $D_{1}$

Sea el valor lanzado en el segundo dado. $D_{2}$

¿Cuál es la probabilidad de que ? ${\ estilo de visualización D_ {1} = 2}$

La Tabla 1 muestra el espacio de probabilidad de los casos. ${\ estilo de visualización 36}$

Es claro que exactamente en los casos de ; de este modo, ${\ estilo de visualización D_ {1} = 2}$ $6$ ${\ estilo de visualización 36}$ $P(D_{1}=2)=6/36=1/6.$

tabla 1

+		$D_{2}$
+		una	2	3	cuatro	5	6
$D_{1}$	una	2	3	cuatro	5	6	7
	2	3	cuatro	5	6	7	ocho
	3	cuatro	5	6	7	ocho	9
	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez
	5	6	7	ocho	9	diez	once
	6	7	ocho	9	diez	once	12

¿Cuál es la probabilidad de que ? $D_{1}+D_{2}\leq 5$

La Tabla 2 muestra que para exactamente los mismos resultados, por lo tanto $D_{1}+D_{2}\leq 5$ $diez$ ${\ estilo de visualización 36}$ $P(D_{1}+D_{2}\leq 5)=10/36.$

Tabla 2

+		$D_{2}$
+		una	2	3	cuatro	5	6
$D_{1}$	una	2	3	cuatro	5	6	7
	2	3	cuatro	5	6	7	ocho
	3	cuatro	5	6	7	ocho	9
	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez
	5	6	7	ocho	9	diez	once
	6	7	ocho	9	diez	once	12

¿Cuál es la probabilidad de que, dado que ? ${\ estilo de visualización D_ {1} = 2}$ $D_{1}+D_{2}\leq 5$

La Tabla 3 muestra que , siempre que exactamente para de los resultados. ${\ estilo de visualización D_ {1} = 2}$ $D_{1}+D_{2}\leq 5$ $3$ $diez$

Por lo tanto, la probabilidad condicional Esto se puede ver en la definición que presentamos anteriormente: $P(D_{1}=2|D_{1}+D_{2}\leq 5)=3/10=0.3.$

${\displaystyle P(A|B)={\tfrac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\tfrac {3/36}{10/36}}={\ frac {3}{10}}.}$

Tabla 3

+		$D_{2}$
+		una	2	3	cuatro	5	6
$D_{1}$	una	2	3	cuatro	5	6	7
	2	3	cuatro	5	6	7	ocho
	3	cuatro	5	6	7	ocho	9
	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez
	5	6	7	ocho	9	diez	once
	6	7	ocho	9	diez	once	12

Actos de independencia

Los eventos y se llaman independientes si $A$ $B$

${\displaystyle {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B).))$

si , entonces $P(B)\neq 0$

${\ Displaystyle {\ Displaystyle P(A|B)=P(A).))$

Del mismo modo, si , entonces $P(A)\neq 0$

${\ Displaystyle {\ Displaystyle P(B|A)=P(B).))$

Eventos independientes vs eventos mutuamente excluyentes

Como se mencionó anteriormente, la independencia de eventos significa que

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=P(A)\quad {\text{u}}\quad P(B|A)=P(B)))$

siempre que la probabilidad de la condición no sea igual a cero. Sin embargo, si los eventos son mutuamente excluyentes, entonces

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=0,\quad P(B|A)=0,\quad {\text{u))\quad P(A\cap B)=0.))$

De hecho, los eventos mutuamente excluyentes no pueden ser independientes, ya que el conocimiento de que uno de los eventos sucedió sugiere que el otro no sucedió.

Delirios

La probabilidad del evento A bajo la condición B es igual a la probabilidad del evento B bajo la condición A

En el caso general, no podemos asumir que la relación entre y viene dada por la fórmula de Bayes : $P(A|B)\aprox. P(B|A).$ ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización PAG (A | B)))$ ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización PAG (B | A)))$

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{alineado}P(B|A)&={\frac {P(A|B)P(B)}{P(A)))\Leftrightarrow {\frac {P( B|A)}{P(A|B)}}={\frac {P(B)}{P(A)}}\end{alineado))))$

Es decir, sólo si lo que es equivalente $P(A|B)\aprox. P(B|A),$ ${\frac {P(B)}{P(A)}}\aproximadamente 1,$ $P(A)\aprox. P(B).$

La probabilidad marginal es igual a la probabilidad condicional

En el caso general, estas probabilidades no pueden considerarse relacionadas por la fórmula de probabilidad total : $P(A)\aprox. P(A|B).$

$P(A)=\sum_{n}P(A\cap B_{n})=\sum_{n}P(A|B_{n})P(B_{n}),$

donde los eventos forman una partición contable . $B_{n}$ $\Omega$

Este concepto erróneo puede resultar del sesgo de selección. Por ejemplo, en el contexto de un reclamo médico, es un evento que ocurre debido a una enfermedad crónica bajo una circunstancia (condición aguda) . Sea un evento cuando una persona busca ayuda médica. Supongamos que en la mayoría de los casos no provoca , por lo que es baja. Supongamos también que se requiere intervención médica solo si sucedió debido a . Según la experiencia de los pacientes, el médico puede concluir erróneamente que es alto. La probabilidad real observada por el médico es . ${\ estilo de visualización S_ {C}}$ $S$ $C$ $H$ $C$ $S$ $PAG(S_{C})$ $S$ $C$ $PAG(S_{C})$ $PAG(S_{C}|H)$

Formal definición

Formalmente , se puede definir como una nueva probabilidad en el mismo espacio de probabilidad, lo que requiere que la probabilidad de los eventos contenidos completamente en , cambie por el mismo número de veces, y los eventos completamente contenidos en no , tengan probabilidad . ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización PAG (A | B)))$ $B$ $B$ ${\ estilo de visualización 0}$

Sea el espacio de resultados elementales . Supongamos que ha ocurrido un evento . El nuevo valor de probabilidad se asignará a . La nueva distribución para algún coeficiente constante es: $\Omega$ ${\ estilo de visualización \ {\ omega \))$ $B\subseteq \Omega$ ${\ estilo de visualización \ {\ omega \))$ $\alfa$

${\begin{alineado}&{\text{1. }}\omega \in B:P(\omega |B)=\alpha P(\omega )\\&{\text{2. }}\omega \notin B:P(\omega |B)=0\\&{\text{3. }}\sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega |B)}=1.\end{alineado}}$

Sustituye 1 y 2 en 3 para expresar α:

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{alineado}1&=\sum_{\omega \in \Omega }{P(\omega |B)}=\sum_{\omega \in B}{P(\omega |B)}+{\cancelto {0}{\sum_{\omega \notin B}P(\omega |B)))=\alpha \sum_{\omega \in B}{P(\omega ) }=\alpha \cdot P(B)\Rightarrow \alpha ={\frac {1}{P(B)}}\end{alineado))))$

Entonces la nueva distribución es

${\begin{alineado}{\text{1. }}\omega \in B&:P(\omega |B)={\frac {P(\omega )}{P(B)))\\{\text{2. }}\omega \notin B&:P(\omega |B)=0\end{alineado}}$

Ahora para el evento : $A$

${\begin{alineado}P(A|B)&=\sum _{\omega \in A\cap B}{P(\omega |B)}+{\cancelto {0}{\sum _ {\omega \in A\cap B^{c}}P(\omega |B)))=\sum _{\omega \in A\cap B}{\frac {P(\omega )}{P( B)}}={\frac {P(A\cap B)}{P(B)))\end{alineado}}$