Distribución condicional

Una distribución condicional en la teoría de la probabilidad es la distribución de una variable aleatoria bajo la condición de que otra variable aleatoria tome un cierto valor.

Definiciones

Supondremos que se da un espacio de probabilidad . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$

Variables aleatorias discretas

Sean y variables aleatorias tales que el vector aleatorio tiene una distribución discreta dada por la función de probabilidad . Deje tal que . Entonces la función $X:\Omega\to\mathbb {R} ^{m}$ $Y:\Omega\to\mathbb {R} ^{n}$ $(X,Y)^{\superior}:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ $p_{X,Y}(x,y),\;x\en \mathbb {R} ^{m},y\en \mathbb {R} ^{n}$ $y_{0}\en \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{P} (Y=y_{0})>0$

p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y_{0})={p_{X,Y}(x,y_{0} ) \sobre p_{Y}(y_{0})},\;x\en \mathbb {R} ^{m}

donde es la función de probabilidad de una variable aleatoria , se denomina función de probabilidad condicional de una variable aleatoria siempre que . La distribución dada por la función de probabilidad condicional se denomina distribución condicional. $p_{Y}$ $Y$ $X$ $Y=y_{0}$

Variables aleatorias absolutamente continuas

Sean y variables aleatorias tales que el vector aleatorio tiene una distribución absolutamente continua dada por la densidad de probabilidad . Sea tal que , donde es la densidad de la variable aleatoria . Entonces la función $X:\Omega\to\mathbb {R} ^{m}$ $Y:\Omega\to\mathbb {R} ^{n}$ $(X,Y)^{\superior}:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ $f_{X,Y}(x,y),\;x\en \mathbb {R} ^{m},y\en \mathbb {R} ^{n}$ $y_{0}\en \mathbb {R} ^{n}$ $f_{Y}(y_{0})>0$ $f_{Y}$ $Y$

f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}

se denomina densidad de probabilidad condicional de una variable aleatoria siempre que . La distribución dada por la densidad de probabilidad condicional se denomina distribución condicional. $X$ $Y=y_{0}$

Propiedades de las distribuciones condicionales

Las funciones de probabilidad condicional y las densidades de probabilidad condicional son funciones de probabilidad y densidades de probabilidad, respectivamente, es decir, satisfacen todas las condiciones necesarias. En particular,

$p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m},\,y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,
$\sum \limits _{x}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

$f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0$ casi en todas partes en $\mathbb {R} ^{m+n}$
$\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R}^{n}$ ,

Las fórmulas de probabilidad total son válidas :

$p_{X}(x)=\sum \limits _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)$ ,
$f_{X}(x)=\int \limits_{\mathbb {R} ^{n}}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_{Y}(y)\,dy$ .

Si las variables aleatorias y son independientes , entonces la distribución condicional es igual a la incondicional: $X$ $Y$

p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}

f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=f_{X}(x)

casi en todas partes en .

\mathbb{R} ^{m}

Probabilidades condicionales

Variables aleatorias discretas

Si es un subconjunto contable , entonces $A$ $\mathbb{R} ^{m}$

\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\sum \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})

Variables aleatorias absolutamente continuas

Si es un subconjunto de Borel de , entonces por definición ponemos $A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})$ $\mathbb{R} ^{m}$

\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx

Comentario. La probabilidad condicional del lado izquierdo de la igualdad no se puede definir de forma clásica, ya que . $\mathbb{P} (Y=y_{0})=0$

Expectativas condicionales

Variables aleatorias discretas

La expectativa matemática condicional de una variable aleatoria bajo la condición se obtiene sumando con respecto a la distribución condicional: $X$ $Y=y_{0}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\sum \limits _{x}x\,p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})

La expectativa matemática condicional bajo la condición de una variable aleatoria es la tercera variable aleatoria dada por la igualdad $X$ $Y$ $\mathbb {E} [X\mid Y]$

\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega

Variables aleatorias absolutamente continuas

La expectativa matemática condicional de una variable aleatoria bajo la condición se obtiene integrando con respecto a la distribución condicional: $X$ $Y=y_{0}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{0 })\,dx

La expectativa matemática condicional bajo la condición de una variable aleatoria es la tercera variable aleatoria dada por la igualdad $X$ $Y$ $\mathbb {E} [X\mid Y]$

\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega

Véase también

expectativa condicional