Fórmula de Binet-Cauchy

La fórmula de Binet-Cauchy es un teorema sobre el determinante del producto de dos matrices rectangulares , siempre que sea una matriz cuadrada . Demostrado a principios del siglo XIX por los matemáticos franceses J. Binet y O. Cauchy .

Redacción

El producto de dos matrices rectangulares y da una matriz cuadrada de orden si tiene columnas y filas, y la matriz tiene columnas y filas. Los menores de matrices y del mismo orden son iguales al menor de los números y se denominan correspondientes entre sí si están en columnas (matrices ) y filas (matrices ) con los mismos números. $A$ $B$ $metro$ $A$ $norte$ $metro$ $B$ $metro$ $norte$ $A$ $B$ $norte$ $metro$ $A$ $B$

El determinante de la matriz es igual a cero si , y es igual a la suma de productos por pares de menores de orden correspondientes si (la suma se toma sobre todos los conjuntos de columnas de matriz y filas de matriz con números crecientes ) [1] . $AB$ $n<m$ $metro$ $n\geqslant m$ $A$ $B$ $i_1<i_2<\ldots<i_m$

Notas

Por si acaso, la fórmula es obvia. De hecho, dado que las columnas de la matriz son combinaciones lineales de las columnas de la matriz , entonces, en el caso de que el número de columnas de la matriz sea mayor que el número de columnas de la matriz , la matriz es obviamente degenerada (es decir, su determinante es igual a cero). $n<m$ ${\ estilo de visualización | AB | = 0}$ $AB$ $A$ $AB$ $A$ $AB$
En el caso, la fórmula de Binet-Cauchy toma la forma conocida: . $n=m$ $|AB|=|A|\,|B|$
En el caso, la demostración de la fórmula de Binet-Cauchy es más complicada [1] . $n>m$

Ejemplo

Dejar

A=\left(\begin{matriz} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_n \\ \end{matriz}\right),\quad B =\left(\begin{matriz } a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \\ \end{matriz}\right).

Después

A\,B=\left(\begin{matriz} a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2 & a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n \\ a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n & b_1^2+b_2 ^2+\ldots+b_n^2 \\ \end{matriz}\right),

y los menores correspondientes tienen la forma

\left|\begin{matriz} a_i & b_i \\ a_j & b_j \\ \end{matriz}\right|

para todos , tomando valores de a . $yo<j$ $una$ $norte$

La fórmula de Binet-Cauchy en este caso da la igualdad

(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)-(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2=\sum_{i< j}(a_ib_j-a_jb_i)^2,

de donde (en el caso de que todos y sean números reales ) se sigue la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky [1] : $ai}$ $bi}$

(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geqslant(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2.

Literatura

Gantmakher F. R. Teoría de la matriz. — M.: Nauka, 1966.
Faddeev D. K. Conferencias sobre álgebra. — M.: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. — M.: Fizmatlit, 2009.

Notas

↑ 1 2 3 Shafarevich I.R., Remizov A.O. Álgebra lineal y geometría. — M.: Fizmatlit, 2009.

Enlaces

Prueba del teorema (Conferencia de V.P. Grigoriev, MPEI)