Fórmula Ito

La fórmula de Itô es un cambio de fórmula variable en una ecuación diferencial estocástica . El autor de la fórmula es Ito Kiyoshi , un matemático y estadístico japonés .

Definición

Dado un proceso aleatorio definido en un espacio de probabilidad filtrado con un flujo . $X=(X_{t})_{t\geqslant 0}$ ${\displaystyle {\grande (}\Omega,{\mathfrak {F)),({\mathfrak {F))_{t})_{t\geqslant 0},P{\grande )))$ $({\mathfrak {F}}_{t})_{t\geqslant 0}$

Sea dada una ecuación diferencial estocástica o, en forma integral, ${\displaystyle dX_{t}=a(t,\omega )\,dt+b(t,\omega )\,dB_{t))$

X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}a(s,\omega )\,ds+\int \limits_{0}^{t}b(s ,\omega )\,dB_{s},

donde es el movimiento browniano. $B=(B_{t},{\mathfrak {F}}_{t})_{t\geqslant 0}$

Sea ahora una función definida sobre una función continua de la clase , es decir, que tenga derivadas ${\ estilo de visualización F (t, x)}$ $\mathbb{R} _{+}\times \mathbb{R}$ $C^{{1,2}}$ ${\frac {\parcial F}{\parcial t)),\ {\frac {\parcial F}{\parcial x)),\ {\frac {\parcial ^{2}F}{\parcial x^{2}}}.$

Bajo estos supuestos,

dF(t,X_{t})=\left[{\frac {\parcial F}{\parcial t))+a(t,\omega ){\frac {\parcial F}{\parcial x ))+{\frac {1}{2}}b^{2}(t,\omega ){\frac {\parcial ^{2}F}{\parcial x^{2}}}\right]\ ,dt+{\frac {\F parcial}{\x parcial}}b(t,\omega )\,dB_{t}.

Hablando más estrictamente, la siguiente fórmula de Itô se cumple para cada para : ${\ estilo de visualización t> 0}$ $F(t,X_{t})$

F(t,X_{t})=F(0,X_{0})+\int \limits _{0}^{t}\left[{\frac {\parcial F}{\parcial t }}+a(s,\omega ){\frac {\parcial F}{\parcial x}}+{\frac {1}{2}}b^{2}(s,\omega ){\frac { \parcial ^{2}F}{\parcial x^{2}}}\right]\,ds+\int \limits _{0}^{t}{\frac {\parcial F}{\parcial x}} b(s,\omega)\,dB_{s}.

Generalización multidimensional

Véase también

Enlaces

El Mundo Estocástico - Una Introducción Simple a las Ecuaciones Diferenciales Estocásticas