Distribución infinitamente divisible

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Una distribución infinitamente divisible en la teoría de la probabilidad es una distribución de una variable aleatoria tal que puede representarse como un número arbitrario de términos independientes igualmente distribuidos.

Definición

Se dice que una variable aleatoria es infinitamente divisible si para cualquiera se puede representar en la forma $Y$ $n\en \mathbb {N}$

{\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)))

donde son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. ${\displaystyle \left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n))$

Propiedades de distribuciones infinitamente divisibles

La función característica de una variable aleatoria infinitamente divisible tiene la forma: ${\ estilo de visualización \ phi _ {Y} (t)}$ $Y$

${\ estilo de visualización \ phi _ {Y} (t) = \ phi _ {X ^ {(n)}}^ {n} (t)}$ .

La función característica de una distribución infinitamente divisible no desaparece.
La función de distribución de la suma de variables aleatorias independientes que tienen funciones de distribución infinitamente divisibles también es infinitamente divisible.
Una función de distribución que es limitante para una secuencia de funciones de distribución infinitamente divisibles es infinitamente divisible.

Representaciones canónicas de distribuciones infinitamente divisibles

Teorema de Kolmogorov

Para que una función de distribución con varianza finita sea infinitamente divisible es necesario y suficiente que el logaritmo de su función característica tenga la forma: $\fi (x)$ $\fi (t)$

\ln \phi (t)=i\gamma t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}-1-itx}{x^{2} }}dG(x)

donde es una constante real y es una función no decreciente de variación acotada, la integral se entiende en el sentido de Lebesgue-Stieltjes . $\gama$ $g(x)$

Fórmula de Levy-Khinchin

Sea la función característica de una distribución infinitamente divisible en . Entonces existe una función no decreciente de variación acotada tal que $\fi (t)$ $\matemáticas {R}$ $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+ u^{2}}}\derecha)\izquierda({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\derecha)dG(u)

Ejemplos

Las siguientes distribuciones son infinitamente divisibles: distribución de Cauchy , distribución de Poisson , distribución normal , distribución gamma .

Sea dado un espacio de probabilidad , donde ${\ estilo de visualización (\ mathbb {N}, 2 ^ {\ mathbb {N}}, m)}$

m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }

para algunos Entonces una variable aleatoria que tiene la forma $\lambda>0$ $X:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$

X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N}

no es infinitamente divisible.

Distribución infinitamente divisible en grupos abelianos localmente compactos

Se dice que una distribución sobre un grupo abeliano localmente compacto es infinitamente divisible si para cada natural existe un elemento y una distribución sobre tal que , donde se concentra una distribución degenerada (ver [1] , [2] ). $\mu$ $X$ $norte$ ${\ estilo de visualización x_ {n} \ en X}$ $\mu _{n}$ $X$ $\mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n))$ ${\ Displaystyle E_ {x_ {n}}}$ $x_{n}$

Ejemplos de distribuciones infinitamente divisibles en grupos abelianos localmente compactos son distribuciones degeneradas, cambios de distribuciones de Haar de subgrupos compactos, distribuciones de Poisson generalizadas .

Véase también

Distribución estable .

Literatura

BV Curso Gnedenko de teoría de la probabilidad, Moscú, Nauka, 1965, 400 págs.

Notas

↑ K. R. Parthasarathy, R. Ranga Rao, S. R. S. Varadhan, "Distribuciones de probabilidad en grupos abelianos localmente compactos", Matemáticas , 9 :2 (1965), ( Parthasarathy, KR ; Rao, RR ; Varadhan, SRS Archivado el 26 de agosto de 2020 en Wayback Distribuciones de probabilidad de máquina en grupos abelianos localmente compactos Ill. J. Math 7, 337-369 (1963) Archivado el 26 de agosto de 2020 en Wayback Machine )
↑ Parthasarathy KR Medidas de probabilidad en espacios métricos. probable Matemáticas. estadístico. - 3. - Nueva York - Londres: Academic Press, 1967.