Espacio localmente compacto
Un espacio localmente compacto es un espacio topológico , cada punto del cual tiene una vecindad abierta , cuyo cierre es compacto [1] [2] [3] . A veces se usa una definición más débil: es suficiente que cada punto tenga una vecindad compacta (aquí no se asume la apertura de la vecindad) [4] [5] . En el caso de un espacio de Hausdorff , estas definiciones son equivalentes.
Ejemplos
- Cualquier espacio compacto es localmente compacto.
- Cualquier espacio euclidiano es localmente compacto. Esto se sigue del lema de Heine-Borel y también del hecho de que el producto de un número finito de espacios compactos es compacto.
- Sin embargo, ningún espacio normado de dimensión infinita es localmente compacto.
- Cualquier variedad topológica es localmente compacta.
- Los espacios discretos son localmente compactos (a veces llamados variedades de dimensión 0), mientras que los espacios discretos infinitos no son compactos.
- Cualquier subconjunto cerrado de un espacio localmente compacto es localmente compacto.
Propiedades
Un espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio completamente regular .
Una compactación de un punto de un espacio topológico es Hausdorff si y solo si es localmente compacto y Hausdorff.
Un subespacio X de un espacio de Hausdorff localmente compacto es localmente compacto si y solo si hay subconjuntos cerrados A y B tales que . Esto implica que un subconjunto denso de un espacio de Hausdorff localmente compacto es localmente compacto si y solo si está abierto. Además, si un subespacio de un espacio de Hausdorff arbitrario es localmente compacto, entonces puede escribirse como la diferencia de dos subconjuntos cerrados; la declaración inversa ya no es cierta en este caso.
El producto de una familia de espacios topológicos es localmente compacto si y solo si todos los espacios de la familia son localmente compactos y todos ellos, excepto quizás un número finito, son compactos.
La imagen de un espacio localmente compacto bajo un mapeo abierto continuo sobre un espacio de Hausdorff es localmente compacta.
Los espacios factoriales de espacios de Hausdorff localmente compactos se generan de forma compacta . Por el contrario, cualquier espacio de Hausdorff generado de forma compacta es un espacio cociente de algún espacio de Hausdorff localmente compacto.
Grupos localmente compactos
La definición de compacidad local es especialmente importante en el estudio de grupos topológicos , ya que se puede introducir una medida de Haar en cualquier grupo localmente compacto de Hausdorff , lo que permite integrar funciones en este grupo. La medida de Lebesgue on es un caso especial de la medida de Haar.
El dual de Pontryagin de un grupo topológico abeliano A es localmente compacto si y solo si A es localmente compacto. Más precisamente, la categoría de grupos abelianos localmente compactos es autodual con respecto a la dualidad de Pontryagin. Los grupos abelianos localmente compactos se utilizan en el análisis armónico , una de cuyas secciones modernas se basa en su estudio.
Notas
- ↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Topología elemental. — M.: MTSNMO, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 .
- ↑ P. S. Alexandrov. Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. — M .: GIITL, 1948.
- ↑ Yu. G. Borisovich, N. M. Bliznyakov, T. M. Fomenko. Introducción a la topología. 2ª ed., añadir. — M.: Nauka. Fizmatlit., 1995. ISBN 5-02-014118-6 .
- ↑ JL Kelly. Topología general. — M .: Nauka, 1968.
- ↑ Munkres, James (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 .
Literatura
- Engelking R. Topología general. —M.:Mir, 1986. — 752 p.