Fórmula de Taylor-Peano

Fórmula de Taylor - Peano Sea , el punto límite del conjunto y . Si la función es derivable en el punto , entonces la fórmula de Taylor-Peano es válida para todos $f:{\mathbb C}\to {\mathbb C}$ $z_{0}$ $D_f$ $z_{0}\en D_{f}$ $F$ $norte$ $z_{0}$ $z\en D_{f}$

f(z)=\sum \limits _{{k=0}}^{n}{\frac {f^{{(k)}}(z_{0})(z-z_{0})^{ k}}{k!}}+\varepsilon _{n}(z)(z-z_{0})^{n},

(una)

donde ε n (z) es una función continua en el punto z 0 y ε n ( z 0 ) = 0. Aplicamos el método de inducción matemática . Si n = 0, entonces el enunciado es obvio para ε n ( z ) = f ( z ) − f ( z 0 ). Supongamos que el enunciado del teorema es verdadero después de reemplazar n por n − 1 y que la función f es n veces diferenciable en el sentido de Fermat-Lagrange en el punto z 0 . Según la definición, existe una función diferenciable de Fermat-Lagrange n − 1 φ en el punto z 0 tal que ∀ z ∈ D f ,

$f(z)-f(z_{0})=(z-z_{0})\varphi (z).\quad \quad (2)$

por supuesto

$\varphi (z)=\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {\varphi ^{(k)}(z_{0})(z-z_{0} )^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{n-1},\quad \quad (3)$

donde es una función continua en el punto z 0 y . De las igualdades (2) y (3) obtenemos: $\varepsilon _{{n-1}}(z)$ $\varepsilon _{{n-1}}(z_{0})=0$

$f(z)=f(z_{0})+(z-z_{0})\left(\sum \limits_{k=0}^{n-1}{\frac {f^{ (k+1)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0}) ^{n-1}\derecho)=$

$=f(z_{0})+\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(z_{0})}{k +1}}{\frac {(z-z_{0})^{k+1}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{ norte},$

que es equivalente a la fórmula (1) para . $\varepsilon _{n}=\varepsilon _{{n-1}}$

Literatura

A.K.Boyarchuk "Funciones de una variable compleja: teoría y práctica" Libro de referencia sobre matemáticas superiores. T.4 M.: Editorial URSS, 2001. - 352p.