Teorema

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Teorema - ( griego antiguo Θεώρημα , de otro griego Θεώρηώ - Argumento [2] ) un enunciado matemático , cuya verdad se establece mediante una prueba . Las demostraciones de teoremas se basan en teoremas probados previamente y enunciados generalmente aceptados ( axiomas ) [3] .

El teorema es una consecuencia lógica de los axiomas. La demostración de un teorema matemático es un argumento lógico para el enunciado de un teorema dado de acuerdo con las reglas de un sistema formal . La demostración de un teorema a menudo se interpreta como una justificación de la verdad del enunciado del teorema. A la luz del requisito de que los teoremas sean probados, el concepto de teorema es fundamentalmente deductivo , en contraposición al concepto de ley científica , que es experimental [4] .

Muchos teoremas matemáticos son enunciados condicionales. En este caso, la demostración extrae una conclusión a partir de condiciones denominadas hipótesis o premisas . A la luz de la interpretación de la evidencia como justificación de la verdad, la conclusión se ve a menudo como una consecuencia necesaria de las hipótesis , es decir, que la conclusión es verdadera si las hipótesis son verdaderas, sin suposiciones adicionales. Sin embargo, las condiciones pueden interpretarse de manera diferente en algunos sistemas deductivos , dependiendo de los significados asignados a las reglas de inferencia y al símbolo de condición.

Si bien los teoremas se pueden escribir en una forma totalmente simbólica, como con el cálculo proposicional , a menudo se expresan en lenguaje natural (inglés, ruso, francés, etc.). Lo mismo ocurre con las demostraciones, que a menudo se expresan como una cadena lógicamente organizada y bien formulada de argumentos informales diseñados para convencer a los lectores de la veracidad del enunciado del teorema, a partir de los cuales, en principio, se puede construir una demostración simbólica formal. Tales argumentos tienden a ser más fáciles de probar que los puramente simbólicos y, de hecho, muchos matemáticos prefieren una prueba que no solo demuestre la validez del teorema, sino que también explique de alguna manera por qué es obviamente cierto. En algunos casos, una imagen es suficiente para demostrar el teorema.

Debido a que los teoremas están en el corazón de las matemáticas, también juegan un papel central en su estética. Los teoremas a menudo se describen como "triviales", "duros", "profundos" o incluso "hermosos". Estos juicios subjetivos no solo varían de persona a persona, sino también con el tiempo: por ejemplo, cuando una prueba se simplifica o se comprende mejor, un teorema que antes era difícil puede volverse trivial. Por otro lado, un teorema profundo puede formularse de manera simple, pero su demostración puede involucrar conexiones sorprendentes y sutiles entre diferentes áreas de las matemáticas. Un ejemplo particularmente famoso de tal teorema es el último teorema de Fermat .

Declaración informal de teoremas

Desde el punto de vista de la lógica , muchos teoremas toman la forma de una convención: si A, entonces B. Tal teorema no afirma la verdad de B , sino sólo que B es una consecuencia necesaria de A. En este caso, A se llama la hipótesis lógica del teorema, y ​​B  es la conclusión (formalmente , A y B se llaman los enunciados anterior y siguiente ). Cabe recalcar que una hipótesis lógica y una hipótesis matemática  son conceptos diferentes. Entonces, el enunciado "Si n  es un número natural par, entonces n / 2 es un número natural" es un ejemplo de un teorema en el que la hipótesis es el enunciado " n  es un número natural par", y el enunciado " n / 2 también es un número natural” es una conclusión.

Para probar el teorema, debe expresarse como un enunciado formal exacto. Sin embargo, para comodidad del lector, los teoremas no suelen expresarse de forma completamente simbólica, sino en lenguaje natural. El lector transforma independientemente la declaración informal en una formal.

En matemáticas, es común elegir varias hipótesis y crear una teoría , que consta de todas las declaraciones que se derivan lógicamente de esas hipótesis. Las hipótesis que forman la base de una teoría se denominan axiomas o postulados . El campo de las matemáticas que estudia los lenguajes formales, los axiomas y la estructura de las demostraciones se llama teoría de las demostraciones .

Algunos teoremas son " triviales " en el sentido de que se derivan de manera obvia de definiciones, axiomas y otros teoremas, y no contienen ideas sorprendentes. Por otro lado, algunos teoremas pueden llamarse "profundos" porque sus demostraciones pueden ser largas y difíciles, involucrar áreas de las matemáticas que son superficialmente diferentes del enunciado del teorema en sí, o muestran conexiones sorprendentes entre diferentes áreas de las matemáticas. Un teorema puede ser simple en su presentación y al mismo tiempo profundo. Un excelente ejemplo de un teorema profundo es el último teorema de Fermat . En teoría de números y en combinatoria , así como en otras áreas de las matemáticas, hay muchos ejemplos de teoremas simples, pero profundos.

Por otro lado, hay teoremas que tienen una demostración que no se puede escribir de forma simple. Los ejemplos más llamativos de tales teoremas son el teorema de los cuatro colores y la hipótesis de Kepler . Ambos teoremas son conocidos por estar reducidos a un cierto algoritmo, que luego es verificado por un programa de computadora. Inicialmente, muchos matemáticos no aceptaron esta forma de prueba, pero ahora se ha permitido. El matemático Doron Zeilberger incluso argumenta que estos son quizás los únicos resultados no triviales que jamás hayan sido probados por matemáticos [5] . Muchos teoremas matemáticos se pueden reducir a cálculos más simples, incluidas identidades polinómicas, identidades trigonométricas e identidades hipergeométricas [6] .

La seguridad y el teorema

Para establecer un enunciado matemático como un teorema, se requiere una demostración, es decir, se debe demostrar una línea de razonamiento desde los axiomas en el sistema (y otros teoremas ya establecidos) hasta el enunciado dado. Sin embargo, la prueba generalmente se considera por separado del enunciado del teorema. Si bien se puede conocer más de una prueba para un solo teorema, solo se requiere una prueba para establecer el estado de un enunciado como teorema. El teorema de Pitágoras y la ley de reciprocidad cuadrática son los contendientes por el nombre del teorema con el mayor número de pruebas diferentes.

Relación con las teorías científicas

Los teoremas en matemáticas y las teorías en ciencia son fundamentalmente diferentes en su epistemología . Una teoría científica no puede ser probada; su atributo clave es que es falsable , es decir, hace predicciones sobre el mundo natural que pueden probarse experimentalmente . Cualquier discrepancia entre la predicción y el experimento demuestra que la teoría científica está equivocada, o al menos limita su precisión o alcance. Los teoremas matemáticos, por otro lado, son declaraciones formales puramente abstractas: la demostración de un teorema no puede implicar experimentos u otra evidencia empírica de la misma manera que estas demostraciones se utilizan para respaldar teorías científicas.

Sin embargo, existe un cierto grado de empirismo y recopilación de datos involucrados en el descubrimiento de teoremas matemáticos. Al configurar un modelo, a veces usando una computadora poderosa, los matemáticos pueden tener una idea de qué probar y, en algunos casos, incluso cómo proceder con la prueba. Por ejemplo, la conjetura de Collatz se ha probado para valores iniciales de hasta aproximadamente 2,88 × 10 18 . La hipótesis de Riemann ha sido probada para los primeros 10 billones de ceros de la función zeta . Ninguna de estas afirmaciones se considera probada.

Tal evidencia no es prueba. Por ejemplo, la conjetura de Mertens  es una declaración falsa sobre los números naturales, pero se desconoce un contraejemplo explícito. Solo se sabe que el contraejemplo más pequeño no es inferior a 10 14 ni superior a 10 4,3 × 10 39 . Es imposible encontrar un contraejemplo explícito usando una búsqueda exhaustiva , pero se sabe que existe.

La palabra "teoría" también existe en matemáticas para referirse a un conjunto de axiomas, definiciones y teoremas matemáticos, como la teoría de grupos . También hay "teoremas" en la ciencia, especialmente en la física y en la ingeniería, pero a menudo tienen declaraciones y pruebas en las que las suposiciones físicas y la intuición juegan un papel importante; los axiomas físicos en los que se basan tales "teoremas" son en sí mismos falsables.

Terminología

Hay una serie de términos diferentes para los enunciados matemáticos; estos términos indican el papel que juegan las declaraciones en un tema en particular. La incoherencia entre los distintos términos a veces es bastante arbitraria y, con el tiempo, algunos términos se han vuelto más utilizados que otros.

Hay otros términos de uso menos común que generalmente se adjuntan a declaraciones probadas, por lo que algunos teoremas se denominan con nombres históricos o convencionales. Por ejemplo:

Varios teoremas bien conocidos tienen nombres aún más peculiares. El algoritmo de división (ver división con resto ) es un teorema que expresa el resultado de la división por números naturales y anillos más generales. La razón de Bezout  es un teorema que establece que el máximo común divisor de dos números se puede escribir como una combinación lineal de esos números. La paradoja de Banach-Tarski  es un teorema en la teoría de la medida que es paradójico en el sentido de que contradice las ideas comunes sobre el volumen en el espacio tridimensional.

El diseño del teorema

El teorema y su prueba generalmente se presentan de la siguiente manera:

El teorema y el nombre de la persona que lo demostró, y el año del descubrimiento, prueba o publicación. Un enunciado de un teorema (a veces llamado proposición ). Prueba Descripción de la prueba. Final.

El final de la prueba se puede indicar con las letras QED ( quod erat demonstrandum ) o una de las lápidas "□" o "∎", que significan "Fin de la prueba", introducidas por Paul Halmos después de su uso en artículos de revistas.

El estilo exacto depende del autor o publicación. Muchas publicaciones proporcionan instrucciones o macros para escribir en una guía de estilo .

Por lo general, un teorema está precedido por definiciones que describen el significado exacto de los términos utilizados en el teorema. Además, el enunciado del teorema precede a una serie de proposiciones o lemas, que luego se utilizan en la demostración. Sin embargo, los lemas a veces se incluyen en la demostración de un teorema, ya sea con demostraciones anidadas o con sus demostraciones presentadas después de la demostración del teorema.

Las consecuencias del teorema se presentan entre el teorema y la prueba, o inmediatamente después de la prueba. A veces, los corolarios tienen sus propias pruebas que explican por qué se siguen del teorema.

Datos interesantes

Se estima que cada año se prueban más de un cuarto de millón de teoremas [11] .

El conocido aforismo " un matemático es una máquina para convertir el café en teoremas " se atribuye a menudo al eminente matemático Pal Erdős , quien fue famoso por probar una gran cantidad de teoremas, el número de Erdős que caracteriza el número de sus posibles colaboradores, y la gran cantidad de café que bebió [12] . Sin embargo, esta declaración pertenece a un colega de Erdős, Alfred Renyi (aunque Renyi, al pronunciar esta frase, muy probablemente se refería a Erdős).

Algunos matemáticos consideran que la clasificación de grupos finitos simples es la prueba más larga del teorema. Fue producido por alrededor de 100 autores en 500 artículos de revistas que abarcan un total de decenas de miles de páginas. Se considera que estas publicaciones juntas dan una prueba completa, y muchos matemáticos esperan acortar y simplificar esta prueba [13] . Otro teorema de este tipo es el problema de los cuatro colores, cuya demostración en computadora es demasiado larga para que la lea un ser humano. Esta es, con mucho, la prueba más larga conocida del teorema, y ​​la afirmación es fácil de entender para el profano.

Véase también

Notas

  1. ↑ Eliseo Scott Loomis. La proposición pitagórica: sus demostraciones analizadas y clasificadas, y bibliografía de fuentes para datos de los cuatro tipos de pruebas . Centro de Información de Recursos Educativos . Instituto de Ciencias de la Educación (IES) del Departamento de Educación de los Estados Unidos . Consultado: 26 de septiembre de 2010.
  2. ↑ Breve diccionario de palabras extranjeras. - 7ª ed. - M. : idioma ruso , 1984. - S. 250. - 312 p.
  3. ↑ Teorema // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4. - S. 334-335. — 1216 pág.
  4. ↑ Sin embargo, tanto los teoremas como la ley científica son el resultado de investigaciones. Ver Heath, 1897 Introducción, La terminología de Arquímedes , p. clxxxii: "teorema (θεώρημα) de θεωρεῖν para investigar"
  5. ↑ Doron Zeilberger. Opinión 51 . Consultado el 25 de abril de 2019. Archivado desde el original el 10 de junio de 2016.
  6. ↑ Petkovsek et al. 1996.
  7. ↑ Wentworth, G.; Smith, DE Arte. 46, 47 // Geometría plana  (indefinida) . —Ginn & Co., 1913.
  8. ↑ Arte de Wentworth y Smith. 51
  9. ↑ Seguido por Wentworth & Smith Art. 79
  10. ^ La palabra ley también puede referirse a un axioma, una regla de inferencia o, en la teoría de la probabilidad , una distribución de probabilidad .
  11. ↑ Hoffman 1998, pág. 204.
  12. ↑ Hoffman 1998, pág. 7.
  13. ↑ Teorema enorme: clasificación de grupos finitos simples Archivado el 2 de febrero de 2009 en Wayback Machine , Richard Elwes, Plus Magazine, número 41 de diciembre de 2006.

Literatura

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