Fórmula de Euler (geometría diferencial)

La fórmula de Euler es una fórmula que permite calcular la curvatura normal de una superficie.

Nombrado en honor a Leonhard Euler , quien lo demostró en 1760.

Redacción

Sea una superficie regular en el espacio euclidiano tridimensional . Sea - un punto - un plano tangente a un punto - una unidad normal a un punto a - un plano que pasa por y algún vector unitario en . La curva que se obtiene como intersección del plano con la superficie se denomina sección normal de la superficie en un punto de la dirección $\Fi$ $pags$ $\phi ,$ $T_{p}$ $\Fi$ $pags,$ $norte$ $\Fi$ $pags,$ $\tarta}$ $norte$ $mi$ $T_{p}$ $\gamma_e,$ $\tarta}$ $\phi ,$ $\Fi$ $pags$ $mi.$

\kappa _{e}=k\cdot n

donde denota el producto escalar , y es el vector de curvatura en el punto , se llama la curvatura normal de la superficie en la dirección . Hasta un signo, la curvatura normal es igual a la curvatura de la curva . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $pags$ $\Fi$ $mi$ $\gamma _{e}$

Hay dos direcciones perpendiculares en el plano tangente y tales que la curvatura normal en una dirección arbitraria se puede representar usando la llamada fórmula de Euler : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

donde es el ángulo entre esta dirección y , a son los valores y curvaturas normales en las direcciones y , se denominan curvaturas principales , y las direcciones y son las direcciones principales de la superficie en el punto . Las curvaturas principales son los valores extremos de las curvaturas normales. La estructura de las curvaturas normales en un punto dado de la superficie se representa gráficamente usando la indicatriz de Dupin . $\alfa$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $pags$

Véase también

Enlaces

Euler, Leonhard (1760), Recherches sur la courbure des surface , Memoires de l'academie des sciences de Berlin T. 16: 119–143, 1767 , < http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E333 .html > .