Matriz fundamental

La matriz fundamental de un sistema de ecuaciones diferenciales homogéneas lineales es una matriz cuyas columnas forman el sistema fundamental de soluciones de este sistema [1] .

La matriz fundamental, normalizada en el punto , se distingue del conjunto de todas las matrices fundamentales del sistema dado por la condición , donde es la matriz identidad , y se denomina matrizante . $t_0$ $\Pie)$ $F(t_{0})=E$ $mi$

El determinante de una matriz fundamental se llama su Wronskiano y se denota . Una propiedad importante del Wronskiano de una matriz fundamental es que no se anula en ningún punto. $Pie)$ ${\ estilo de visualización W_ {F} (t)}$

Criterio de fundamentalidad

Junto con un sistema homogéneo lineal de ecuaciones diferenciales

{\dot {x}}=A(t)x,\qquad \ \ \ (1)

considere la ecuación matricial correspondiente

{\dot {X}}=A(t)X,\qquad (2)

donde es una matriz cuadrada desconocida. ${\ estilo de visualización X = X (t)}$

Teorema. La función matricial dada es la matriz fundamental del sistema lineal de ecuaciones diferenciales (1) si y solo si es una solución de la ecuación matricial (2) y tiene un determinante distinto de cero en algún punto (arbitrario). ${\ estilo de visualización X = F (t)}$

Prueba. Tenga en cuenta que la función matricial será una solución a la ecuación matricial (2) si y solo si alguna de sus columnas es una solución al sistema lineal homogéneo (1). En efecto, la igualdad de columnas con números en las partes izquierda y derecha de la ecuación matricial (2) tiene la forma , que coincide con el sistema lineal homogéneo (1). Ahora bien, el criterio formulado se sigue de las definiciones y la propiedad del Wronskiano mencionada anteriormente , ya que la independencia lineal de las columnas de una matriz es equivalente a la diferencia del determinante de esta matriz con respecto a cero. ${\ estilo de visualización X = F (t)}$ $\varphi_k$ $k$ $\varphi '_{k}(t)=A(t)\varphi _{k}(t)$

Notas

↑ Enciclopedia de Matemáticas , Ed. collegium: I. M. Vinogradov (jefe de redacción) [y otros] M., "Soviet Encyclopedia", 1977-1985.

Literatura

Arnold V. I. Ecuaciones diferenciales ordinarias. — M.: Nauka, 1966.
Petrovski IG Conferencias sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias. — M.: Nauka, 1970.
Pontryagin L. S. Ecuaciones diferenciales ordinarias. — M.: Nauka, 1974.