Función de Lyapunov

En la teoría de la estabilidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales , la función de Lyapunov es una función escalar utilizada para estudiar la estabilidad de las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria o un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando el segundo método (directo) de Lyapunov.

Lleva el nombre del matemático y mecánico ruso Alexander Mikhailovich Lyapunov (1857-1918), el fundador de la teoría moderna de la estabilidad [1] .

Descripción

En los teoremas generales de estabilidad, la existencia de una función de Lyapunov con ciertas propiedades es condición suficiente para la estabilidad (inestabilidad) de la solución de la ecuación de movimiento. Sin embargo, los teoremas son reversibles y, para muchas clases de ecuaciones diferenciales ordinarias, la existencia de funciones de Lyapunov también es una condición necesaria.

El segundo método de Lyapunov no requiere encontrar las soluciones de las propias ecuaciones diferenciales, gracias a las cuales es posible estudiar sistemas no lineales complejos . Sin embargo, encontrar una función de Lyapunov apropiada siempre ha sido una tarea muy difícil. Hay una serie de casos investigados para los que se deriva teóricamente un criterio de estabilidad utilizando teoremas generales y funciones de Lyapunov. Por ejemplo, la estabilidad en primera aproximación. Debido a esto, el segundo método de Lyapunov es un método de interés principalmente teórico, ya que la construcción de funciones auxiliares requiere una extraordinaria intuición matemática por parte del investigador. Sin embargo, este método también tiene un valor práctico importante [2] .

Sin embargo, la ventaja más importante del método de la función de Lyapunov sobre todos los demás enfoques para resolver varios problemas de estabilidad es su universalidad. Ahora es el único método matemático que se puede utilizar para estudiar la estabilidad de los sistemas dinámicos de cualquier forma no lineal y cualquier dimensión .

Ecuaciones de movimiento perturbado [3]

Para estudiar la estabilidad, las ecuaciones iniciales se convierten en ecuaciones de movimiento perturbado.

Sea dado algún sistema de ecuaciones diferenciales

{\frac {dy_{i}}{dt}}=Y_{i}(t,y_{1},y_{2},...,y_{n}),

$y_{i}=f_{i}(t)$ es una solución particular de este sistema. Lo consideraremos imperturbable, mientras que el resto de los movimientos serán perturbados.

Entonces, para investigar su estabilidad, es necesario componer las ecuaciones de movimiento perturbado.

Denotemos la perturbación del movimiento elegido. $x_{i}=y_{i}-f_{i}(t)$

Después ${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {dy_{i}}{dt}}-{\frac {df_{i}}{dt}}=Y_{i}( t,x_{1}+f_{1},x_{2}+f_{2},...,x_{n}+f_{n})-Y_{i}(t,f_{1},f_ {2},...,f_{n})=X_{i}(t,x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Cada movimiento del sistema original corresponderá a la solución del nuevo sistema. En este caso, la solución no perturbada corresponderá a la solución .Esto se puede ver en las ecuaciones $x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=0.$ $X_{i}(t,0,0,...,0)=0.$

Definición de la función de Lyapunov (para sistemas autónomos) [3]

Sea dado un sistema de movimiento perturbado, que consta de ecuaciones diferenciales ordinarias: $norte$

{\frac{dx_{i}}{dt}}=X_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

i=1,2,3,...,n.

Además, deja ser definida y continua en la región (donde alguna constante positiva) y desaparece en los valores cero de las variables. $X_{yo}$ $|x_{i}|\leqH$ $H$

Una función de Lyapunov es una función de variables que toma valores reales y satisface las siguientes propiedades: $norte$ $V(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$

La función es inequívoca;
$V(0,0,...,0)=0;$
Continua junto con sus derivadas parciales.

$V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ se llama signo definido (definitivamente positivo o definitivamente negativo) si en la región toma el valor de un solo signo y desaparece solo en el origen. $|x_{i}|\leq h\leq H$

$V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ se llama signo constante (positivo o negativo) si en la región toma valores de un solo signo y se anula no solo en el origen. $|x_{i}|\leq h\leq H$

$V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ se llama variable-signo si toma valores diferentes.

Teoremas de Lyapunov para sistemas autónomos

Dejar

{\ estilo de visualización x ^ {*} = 0}

es el punto de equilibrio del sistema de ecuaciones diferenciales autónomas

{\ estilo de visualización {\ punto {x}} = f (x),}

Déjalo ir

{\dot {V}}(x)={\frac {\parcial V}{\parcial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}} =\nabla V\cdot f(x)

será la derivada temporal del candidato a la función de Lyapunov ${\ estilo de visualización V.}$

Estabilidad del punto de equilibrio

Si la función candidata de Lyapunov es localmente positiva y la derivada temporal es localmente no positiva: $V$

{\dot {V}}(x)\leq 0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}

en alguna vecindad del punto , entonces el punto de equilibrio es estable. ${\ matemáticas {B}}$ $0,$

Estabilidad asintótica local

Si la función candidata de Lyapunov es localmente positiva y la derivada temporal es localmente negativa: $V$

{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}

en alguna vecindad del punto , entonces el punto de equilibrio es localmente asintóticamente estable. ${\ matemáticas {B}}$ $0,$

Estabilidad asintótica global

Si la función candidata de Lyapunov es globalmente positiva, radialmente ilimitada y la derivada temporal es globalmente negativa: $V$

{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathbb {R}}^{n}\setminus \{0\},

entonces el punto de equilibrio es globalmente asintóticamente estable.

La función candidata de Lyapunov es radialmente ilimitada si $V(x)$

\|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty .

Ejemplo

Considere la siguiente ecuación diferencial con solución x en ${\ estilo de pantalla \ mathbb {R}:}$

{\punto x}=-x.

Teniendo en cuenta que la función es positiva en cualquier vecindad del origen sin punto cero, será candidata natural a la función de Lyapunov para estudiar el comportamiento Entonces , sigamos Entonces, $x^{2}$ $X.$ $V(x)=x^{2}$ $\mathbb {R} \setminus\{0\}.$

{\dot {V}}(x)=V'(x)f(x)=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.

Esto muestra que el punto de equilibrio de la ecuación diferencial es asintóticamente estable, y dado que la función es radialmente ilimitada, el punto de equilibrio es globalmente asintóticamente estable. $V(x)=x^{2}$

Notas

↑ Lyapunov A. M. El problema general de la estabilidad. - Moscú Leningrado: publicación estatal de literatura técnica y teórica, 1950.
↑ Rush N., Abets P., Lalua M. Método directo de Lyapunov en la teoría de la estabilidad. - Moscú: Mir, 1980. - S. 7-8. — 300 s.
↑ 1 2 Malkin I. G. Teoría de la estabilidad. - Moscú: Nauka, 1966. - 531 p.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Lyapunov Función (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Khalil, H. K. Sistemas no lineales. — Prentice Hall Upper Saddle River, Nueva Jersey, 1996.
La Salle, José. Estabilidad por el método directo de Liapunov: con aplicaciones / Joseph La Salle, Solomon Lefschetz. - Nueva York: Prensa Académica, 1961.

En catálogos bibliográficos	BNF : 119777049 TIERRA : 4274502-0 J9U : 987007565686405171 LCCN : sh85076428 LNB : 000308007