Huella parcial

En álgebra lineal, la traza parcial generaliza la noción de traza de una matriz . La traza de un operador lineal es un escalar , mientras que la traza parcial es en sí misma un operador lineal . La traza parcial se aplica en la informática cuántica y la teoría de la decoherencia .

Definición

Para cualquier espacio , indique el espacio de los operadores lineales en él como . Sean , espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo de dimensiones y , respectivamente. Sean las bases en V y W , y , respectivamente . $A$ $A$ ${\ estilo de visualización L (A)}$ $V$ $W$ $metro$ $norte$ ${\displaystyle v_{1},\ldots,v_{m))$ ${\displaystyle w_{1},\ldots,w_{n))$

Traza parcial para el espacio , este mapeo viene dado por la relación ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Tr} _ {W}}$ $W$ $\{a_{k\ell,ij}\}=A\in \operatorname {L} (V\otimes W)\mapsto \{b_{k,i}\}=\operatorname {Tr}_{ W}(A)\en \nombre del operador {L} (V)$ $b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.$

El operador lineal así definido no depende de la elección de la base , y . ${\displaystyle v_{1},\ldots,v_{m))$ ${\displaystyle w_{1},\ldots,w_{n))$

La traza parcial como operación cuántica

Consideremos estados de dos partículas. Los vectores de estado puro pertenecen al espacio de Hilbert y a las matrices de densidad, respectivamente . Considere la matriz de densidad . $H_{A}\otimes H_{B}$ $H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$ $\rho _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$

${\displaystyle \{{\left|{i}\right\rangle }_{A}\))$ y son las bases de los espacios y, respectivamente. $\{{\left|{i}\right\rangle }_{B}\}$ $DECIR AH}$ ${\ estilo de visualización H_ {B}}$

Entonces el subsistema es descrito por la matriz de densidad $A$ $\rho_{A}=\operatorname {Tr}_{B}(\rho_{AB})=\sum_{{\left|{i}\right\rangle }_{B}}{ {\left\langle {i}\right|}_{B}\rho _{AB}{\left|{i}\right\rangle }_{B))$

Literatura

D. A. Kronberg, Yu. I. Ozhigov, A. Yu. Chernyavsky (2012). "El aparato algebraico de la informática cuántica" .