Cuadripolo

Un tetrapolar es un circuito eléctrico, una especie de multipolar que tiene cuatro puntos de conexión [1] . Por regla general, dos puntos son la entrada, los otros dos son la salida.

Información general

Cuando se analizan circuitos eléctricos, muy a menudo es conveniente aislar un fragmento de circuito que tenga dos pares de pinzas. Dado que los circuitos eléctricos (electrónicos) a menudo se asocian con la transferencia de energía o el procesamiento y transformación de información, un par de abrazaderas generalmente se denomina "entrada" y el segundo, "salida". La señal original se alimenta a los terminales de entrada, la señal convertida se toma de los terminales de salida.

Tales redes de cuatro terminales son, por ejemplo, transformadores, amplificadores, filtros, estabilizadores de voltaje, líneas telefónicas, líneas eléctricas, etc.

Sin embargo, la teoría matemática de los cuadripolos no implica ningún flujo predeterminado de energía/información en los circuitos, por lo que los nombres "entrada" y "salida" son un tributo a la tradición y se utilizarán más adelante con esta reserva.

Los estados de los terminales de entrada y salida están determinados por cuatro parámetros: voltaje y corriente en los circuitos de entrada ( U 1 , I 1 ) y salida ( U 2 , I 2 ). En este sistema de parámetros, una red lineal de cuatro terminales se describe mediante un sistema de dos ecuaciones lineales, siendo dos de los cuatro parámetros de estado iniciales y los otros dos determinados. Para cuadripolos no lineales, la dependencia puede ser más compleja. Por ejemplo, el sistema puede expresar los parámetros de salida en términos de parámetros de entrada.

{\begin{casos}U_{2}=b_{11}U_{1}+b_{12}I_{1}\\I_{2}=b_{21}U_{1}+b_{22}I_{ 1}\\\end{casos));~~~{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12 }\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}

En el futuro se utilizará el sistema de ecuaciones en forma matricial, como el más conveniente para la percepción.

Sistemas de parámetros

Una red lineal de cuatro terminales que no contiene fuentes independientes ( voltaje y/o corriente ) se describe mediante cuatro parámetros: dos voltajes y dos corrientes. Dos cualesquiera de las cuatro cantidades se pueden determinar en términos de las dos restantes. Dado que el número de combinaciones es 2 de 4 - 6, se utiliza uno de los seis sistemas para registrar los parámetros formales del cuadripolo [2] :

forma A U 1 = AU 2 + BI 2 ; I 1 =CU 2 +DI 2 , donde A, B, C, D son parámetros A, generalizados [3] o complejos [4] .
forma de Y I 1 = Y 11 U 1 + Y 12 U 2 ; I 2 \u003d Y 21 U 1 + Y 22 U 2 , donde Y 11 , Y 12 , Y 21 , Y 22 son parámetros Y, o parámetros de conductividad [5] .
Forma Z U 1 \u003d Z 11 I 1 + Z 12 I 2 ; U 2 \u003d Z 21 I 1 + Z 22 I 2 , donde Z11, Z 12 , Z 21 , Z 22 - Parámetros Z o parámetros de resistencia [5] .
forma H U 1 = h 11 I 1 +h 12 U 2 ; I 2 \u003d h 21 I 1 + h 22 U 2 , donde h 11 , h 12 , h 21 , h 22 son parámetros h que se usan cuando se consideran circuitos con transistores [3] .
Forma de G I 1 = G 11 U 1 + G 12 I 2 ; U 2 \u003d G 21 U 1 + G 22 I 2 , donde G es el parámetro que se usa cuando se consideran circuitos de válvulas.
Forma B U 2 \u003d B 11 U 1 + B 12 I 1 ; yo 2 \u003d segundo 21 u 1 + segundo 22 yo 1

El sistema específico se elige por razones de conveniencia. La elección depende de qué parámetro (voltaje o corriente) es la entrada y cuál es la señal de salida para una red de cuatro terminales dada.

En estos sistemas de parámetros formales no se pueden tener en cuenta fuentes internas arbitrarias (por ejemplo, corriente continua), solo se permiten generadores de corriente controlados y generadores de voltaje controlado , que son controlados por las señales de entrada de la red de cuatro terminales. Por lo tanto, como circuitos de cuatro polos, por regla general, se consideran circuitos de corriente alterna equivalentes .

En la tabla se muestran los sistemas de ecuaciones y circuitos equivalentes de redes de cuatro terminales que utilizan cada tipo de parámetros.

Sistemas de ecuaciones, circuitos equivalentes, medida de parámetros

Tipo de	sistema de ecuaciones	Medición de parámetros
$GRAMO$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$g_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad g_{12}=\left.{ \frac {I_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $g_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad g_{22}=\left.{ \frac{U_{2}}{I_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$
$H$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$	$h_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad h_{12}=\left.{ \frac{U_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$ $h_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad h_{22}=\left.{ \frac{I_{2}}{U_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$
$Y$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$	$y_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad y_{12}=\left.{ \frac{I_{1}}{U_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad y_{22}=\left.{ \frac{I_{2}}{U_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$
$Z$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$z_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad z_{12}=\left.{ \frac{U_{1}}{I_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$ $z_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad z_{22}=\left.{ \frac{U_{2}}{I_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$
$A$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$a_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad a_{12}=\left.{ \frac{U_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{2}=0}$ $a_{21}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad a_{22}=\left.{ \frac{I_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{2}=0}$
$B$	${\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}$	$b_{11}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{1}=0}\quad b_{12}=\left.{ \frac{U_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $b_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{1}=0}\quad b_{22}=\left.{ \frac{I_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{1}=0}$

Conversión de parámetros

Principio de transformación

Como ejemplo, vamos a convertir los parámetros h de un cuadripolo en parámetros y. Para ello, es necesario realizar la siguiente transformación del sistema de ecuaciones:

{\begin{casos}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{ 2}\end{casos}}\a ~~~{\begin{casos}I_{1}=y_{11}U_{1}+y_{12}U_{2}\\I_{2}=y_{ 21}U_{1}+y_{22}U_{2}\end{casos}}.

De la primera ecuación del sistema original, expresamos I 1 :

{\begin{casos}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\ \I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{casos}}.

Sustituimos la primera ecuación en la segunda:

{\begin{casos}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\ \I_{2}=h_{21}\left({\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2 }\right)+h_{22}U_{2}\end{casos}}.

Transformemos la segunda ecuación:

I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+\left(h_{22}-{\frac {h_{12}h_{21}}{h_{ 11}}}\right)U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12} h_{21}}{h_{11}}}U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{ h_{11}}}U_{2},

dónde $\Delta _{h}=h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}.$

Obtenemos un sistema de ecuaciones.

{\begin{casos}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\ \I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}U_{2}\ fin {casos}}.

Comparándolo con el sistema objetivo, obtenemos expresiones para los coeficientes:

y_{11}={\frac {1}{h_{11}}};~~~y_{12}=-{\frac {h_{12}}{h_{11}}};~~~y_{ 21}={\frac {h_{21}}{h_{11}}};~~~y_{22}={\frac {\Delta_{h}}{h_{11}}};

El determinante del nuevo sistema se encuentra por una simple sustitución:

\Delta _{y}=y_{11}y_{22}-y_{12}y_{21}={\frac {1}{h_{11}}}{\frac {\Delta _{h}}{ h_{11}}}+{\frac {h_{12}}{h_{11}}}{\frac {h_{21}}{h_{11}}}={\frac {h_{11}h_{ 22}-h_{12}h_{21}+h_{12}h_{21}}{h_{11}^{2}}}={\frac {h_{22}}{h_{11}}}.

	$H$	$Y$	$Z$	$GRAMO$	$A$
$H$		$h_{11}=1/y_{11}$ ${\displaystyle h_{12}=-y_{12}/y_{11))$ ${\displaystyle h_{21}=y_{21}/y_{11))$ ${\displaystyle h_{22}=\Delta_{y}/y_{11))$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {h} = y_{22}/y_{11}}$	${\displaystyle h_{11}=\Delta _{z}/z_{22))$ ${\displaystyle h_{12}=z_{12}/z_{22))$ ${\displaystyle h_{21}=-z_{21}/z_{22))$ $h_{22}=1/z_{22}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {h} = z_{11}/z_{22}}$	${\displaystyle h_{11}=g_{22}/\Delta _{g))$ ${\displaystyle h_{12}=-g_{12}/\Delta _{g))$ ${\displaystyle h_{21}=-g_{21}/\Delta _{g))$ ${\displaystyle h_{22}=g_{11}/\Delta _{g))$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {h} = 1/\ Delta _ {g}}$	$h_{11}=B/D$ $h_{12}=\Delta _{A}/D$ $h_{21}=-1/D$ $h_{22}=C/D$
$Y$	$y_{11}=1/h_{11}$ ${\displaystyle y_{12}=-h_{12}/h_{11))$ ${\displaystyle y_{21}=h_{21}/h_{11))$ ${\displaystyle y_{22}=\Delta _{h}/h_{11))$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {y} = h_{22}/h_{11}}$		${\displaystyle y_{11}=z_{22}/\Delta _{z))$ ${\displaystyle y_{12}=-z_{12}/\Delta _{z))$ ${\displaystyle y_{21}=-z_{21}/\Delta _{z))$ ${\displaystyle y_{22}=z_{11}/\Delta _{z))$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {y} = 1/\ Delta _ {z}}$	${\displaystyle y_{11}=\Delta _{g}/g_{22))$ ${\displaystyle y_{12}=g_{12}/g_{22))$ ${\displaystyle y_{21}=-g_{21}/g_{22))$ $y_{22}=1/g_{22}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {y} = g_{11}/g_{22}}$	$y_{11}=D/B$ $y_{12}=-\Delta _{A}/B$ $y_{21}=-1/B$ $y_{22}=A/B$
$Z$	$z_{11}=\Delta _{h}/h_{22}$ ${\displaystyle z_{12}=h_{12}/h_{22))$ ${\displaystyle z_{21}=-h_{21}/h_{22))$ $z_{22}=1/h_{22}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {z} = h_{11}/h_{22}}$	${\displaystyle z_{11}=y_{22}/\Delta _{y))$ ${\displaystyle z_{12}=-y_{12}/\Delta _{y))$ ${\displaystyle z_{21}=-y_{21}/\Delta _{y))$ ${\displaystyle z_{22}=y_{11}/\Delta _{y))$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {z} = 1/\ Delta _ {y}}$		$z_{11}=1/g_{11}$ ${\displaystyle z_{12}=-g_{12}/g_{11))$ ${\displaystyle z_{21}=g_{21}/g_{11))$ ${\displaystyle z_{22}=\Delta_{g}/g_{11))$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {z} = g_{22}/g_{11}}$	$z_{11}=A/C$ $z_{12}=\Delta _{A}/C$ ${\ estilo de visualización z_ {21} = 1/C}$ $z_{22}=D/C$
$GRAMO$	$g_{11}=h_{22}/\Delta _{h}$ $g_{12}=-h_{12}/\Delta _{h}$ $g_{21}=-h_{21}/\Delta _{h}$ $g_{22}=h_{11}/\Delta _{h}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {g} = 1/ \ Delta _ {h}}$	$g_{11}=\Delta_{y}/y_{22}$ $g_{12}=y_{12}/y_{22}$ ${\displaystyle g_{21}=-y_{21}/y_{22))$ $g_{22}=1/y_{22}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {g} = y_{11}/y_{22}}$	$g_{11}=1/z_{11}$ ${\displaystyle g_{12}=-z_{12}/z_{11))$ ${\displaystyle g_{21}=z_{21}/z_{11))$ ${\displaystyle g_{22}=\Delta _{z}/z_{11))$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {g} = z_{22}/z_{11}}$		$g_{11}=C/A$ $g_{12}=-\Delta_{A}/A$ $g_{21}=\Delta_{A}/A$ $g_{22}=B/A$
$A$	$A=-\Delta _{h}/h_{21}$ $B=-h_{11}/h_{21}$ $C=-h_{{22}}/h_{{21}}$ $D=-1/h_{{21}}$	$A=-y_{{22}}/y_{{21}}$ $B=-1/año_{{21}}$ $C=-\Delta _{y}/y_{21}$ $D=-y_{{11}}/y_{{21}}$	$A=z_{{11}}/z_{{21}}$ $B=\Delta _{z}/z_{21}$ $C=1/z_{{21}}$ $D=z_{{22}}/z_{{21}}$	$A=1/g_{{21}}$ $B=g_{{22}}/g_{{21}}$ $C=g_{{11}}/g_{{21}}$ $D=\Delta _{g}/g_{21}$

Conversiones de esquema

R in , R out - resistencias de entrada y salida; K I , K U son las ganancias de corriente y tensión .

$R_{entrada}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};\qquad R_{salida}={\frac {U_{2}}{I_{2}}};\ qcuadrado K_{I}={\frac {I_{2}}{I_{1}}};\qcuadrado K_{U}={\frac {U_{2}}{U_{1}}}.$

Esquema	$H$	$Y$	$Z$	$GRAMO$
	$R_{in}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R))$ $R_{out}={\frac {h_{11}+r}{\Delta _{h}+h_{22}r))$ $K_{I}={\frac {h_{21}}{1+h_{22}R}}$ $K_{U}={\frac {-h_{21}R}{h_{11}+\Delta_{h}R}}$	$R_{in}={\frac {1+y_{22}R}{y_{11}+\Delta_{y}R}}$ $R_{out}={\frac {1+y_{11}r}{y_{22}+\Delta _{y}r))$ $K_{I}={\frac {y_{21}}{y_{11}+\Delta _{y}R}}$ $K_{U}={\frac {-y_{21}R}{1+y_{22}R))$	$R_{in}={\frac {\Delta _{z}+z_{11}R}{z_{22}+R))$ $R_{salida}={\frac {\Delta _{z}+z_{22}r}{z_{22}+r))$ $K_{I}={\frac{-z_{21}}{z_{22}+R}}$ $K_{U}={\frac{z_{21}R}{-\Delta_{z}+z_{11}R}}$	$R_{in}={\frac {g_{22}+R}{\Delta _{g}+g_{11}R))$ $R_{out}={\frac {g_{22}+\Delta_{g}r}{1+g_{11}r))$ $K_{I}={\frac {-g_{21}}{\Delta _{g}+g_{11}R}}$ $K_{U}={\frac{g_{21}R}{g_{22}+R))$

El principio de cálculo de los parámetros del circuito.

Como ejemplo, encontremos la resistencia de entrada/salida y las ganancias de corriente y voltaje para una red de cuatro terminales descrita por parámetros h.

Impedancia de entrada

R_{in}={\frac{U_{1}}{I_{1}}};

El sistema describe una red de cuatro terminales descargada

{\begin{casos}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{ 2}\end{casos}}.

Al conectar la carga

U_{2}=-I_{2}R.

Transformamos el sistema de ecuaciones

{\begin{casos}U_{1}=h_{11}I_{1}-h_{12}I_{2}R\\I_{2}=h_{21}I_{1}-h_{22}I_ {2}R\end{casos}};\qquad {\begin{casos}I_{2}h_{12}R=h_{11}I_{1}-U_{1}\\I_{2}(1 +h_{22}R)=h_{21}I_{1}\end{casos}};

{\ estilo de visualización (h_{11}I_{1}-U_{1})(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;}

h_{11}I_{1}(1+h_{22}R)-U_{1}(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}[h_{11}(1+h_{22}R)-h_{12}h_{21}R];

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+h_{11}h_{22}R-h_{12}h_{21}R);

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+\Delta_{h}R);

R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}}={\frac {h_{11}+\Delta_{h}R}{1+h_{22}R }}.

Variedades de cuadripolos

Una red simétrica de cuatro terminales es una red de cuatro terminales en la que el circuito es el mismo con respecto a sus terminales de entrada y salida. Entonces para un tetrapolar simétrico Z11 = Z22. Además: si, cuando la fuente y el receptor de energía se intercambian, sus corrientes no cambian, entonces dicha red de cuatro terminales se llama simétrica.

Un cuadripolo pasivo es un cuadripolo que no contiene fuentes de energía o contiene fuentes de energía compensadas.

Un cuadripolo activo es un cuadripolo que contiene fuentes de energía no compensadas.

Una red reversible de cuatro terminales es una red de cuatro terminales que cumple el teorema de la reversibilidad, es decir, la resistencia de transferencia de los circuitos de entrada y salida no depende de qué par de terminales es la entrada y cuál es la salida: U1/I2 =U2/I1

Casos especiales de cuadripolos

El transformador ideal

Un transformador ideal es una red pasiva de cuatro terminales que describe formalmente el modelo del transformador sin tener en cuenta la corriente sin carga y el núcleo ferromagnético . Matemáticamente, esto está determinado por un sistema de ecuaciones que parece en forma de H (o la matriz correspondiente):

{\begin{casos}U_{1}=h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}\\\end{casos));{\begin{pmatrix}U_ {1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h_{12}\\h_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\ \U_{2}\end{matrix}}

Girador

Un girador es un circuito pasivo de cuatro terminales sin pérdidas que convierte la corriente de entrada en un voltaje de salida y el voltaje de entrada en una corriente de salida inversa (invertida) (inversor de resistencia positiva [6] ). Matemáticamente, esto se describe mediante un sistema que parece una forma de Y (o su matriz correspondiente:

{\begin{casos}I_{1}=y_{12}U_{2}\\I_{2}=-y_{21}U_{1}\\\end{casos));{\begin{pmatrix} I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&y_{12}\\-y_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1 }\\U_{2}\end{matrix}}

Que. El girador no absorbe ni acumula energía, convirtiendo la resistencia de la carga compleja en una resistencia de signo opuesto y módulo igual a la razón inversa:

Z_{fuera}={\frac {1}{-Z_{en}y_{21}^{2}}}

Nulo

Nullor es una red de cuatro puertos, un elemento anómalo, en el que la corriente y el voltaje de entrada son iguales a cero, y la corriente y el voltaje de salida toman cualquier valor que no esté relacionado entre sí [7] . Los elementos anómalos se utilizan en varios casos en el análisis y síntesis de circuitos eléctricos.

Véase también

bipolar

Notas

↑ Bakalov, 1989 , pág. 171.
↑ Bessonov, 1978 , pág. 109.
↑ 1 2 Bakalov, 1989 , p. 175.
↑ Bessonov, 1996 , pág. 137.
↑ 1 2 Bakalov, 1989 , p. 174.
↑ Bessonov, 1996 , pág. 149.
↑ Kisel, 1986 , pág. 68.

Literatura

Bessonov LA Fundamentos teóricos de la ingeniería eléctrica. - M. : Escuela Superior, 1978. - 528 p.
Bessonov LA Fundamentos teóricos de la ingeniería eléctrica. - M. : Escuela superior, 1996. - 638 p.
Kisel V. A. Correctores analógicos y digitales. - M. : Radio y comunicación, 1986. - 184 p.
Vicepresidente de Bakalov Fundamentos de la teoría de circuitos eléctricos y electrónicos. - M. : Radio y comunicación, 1989. - 528 p. - ISBN 5-256-00265-1 .