Número de taxis

El número de taxi n , generalmente denotado Ta( n ) o Taxicab( n ), se define como el número más pequeño que se puede representar como la suma de dos cubos positivos de n maneras diferentes. El número de taxi más famoso es 1729 = Ta(2) = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 .

El nombre del número se obtuvo de una conversación en 1919 entre los matemáticos G. H. Hardy y Srinivasa Ramanujan . Hardy dijo:

Recuerdo una vez que vine a visitarlo (Ramanujan) que estaba en el hospital de Pitney. Llegué en un taxi con el número 1729 y comenté en conversación que el número era aburrido y que espero que no sea una señal desfavorable. “No”, respondió, “el número es muy interesante, es el número natural más pequeño que se puede representar como una suma de cubos de dos maneras diferentes”. [1] [2]

Definición

El concepto fue mencionado por primera vez en 1657 por Bernard Frenicle de Bessy y se hizo famoso a principios del siglo XX por Srinivas Ramanujan . En 1938 , Hardy y Wright demostraron que tales números existen para todos los enteros positivos n , y su prueba puede convertirse fácilmente en un programa para generar tales números. Sin embargo, esta demostración no tiene en cuenta que este número sea mínimo , por lo que no se puede usar para encontrar los valores reales de Ta( n ).

La restricción en el signo de los términos de la suma es necesaria, ya que la suposición de valores negativos nos permite representar más (y menores) números como una suma de cubos de n formas diferentes. El concepto de número de cabina se ha propuesto como una alternativa menos restrictiva. En cierto sentido, el número de términos (dos) y el grado (cubo) también son una limitación importante. El número de taxi generalizado plantea un problema para y para más de dos términos con un grado arbitrario.

Números de taxis notables

Los siguientes seis números de taxi se conocen en la secuencia A011541 en la OEIS :

{\begin{alineado}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{alineado))

{\begin{alineado}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{alineado }}

{\begin{alineado}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&= 255^{3}+414^{3}\end{alineado}}

{\begin{alineado}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&= 10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{alineado}}

{\begin{alineado}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&= 205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{alineado}}

{\begin{alineado}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&= 8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3} +26224366^{3}\end{alineado}}

Principales estimaciones de números de taxis

Se conocen números que pueden representarse por sumas de más de 6 cubos, pero no se ha demostrado que sean los números mínimos que tengan esta propiedad. [3]

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (7)&\leq &24885189317885898975235988544\\&=&2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&=&2685635652^{3}+1766742096^{3 }\\&=&2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&=&2894406187^{3}+860447381^{3}\\&=&2915734948^{3}+459531128^{3}\\&= &2918375103^{3}+309481473^{3}\\&=&2919526806^{3}+58798362^{3}\\\\\end{matriz}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (8)&\leq &50974398750539071400590819921724352\\&=&299512063576^{3}+288873662876^{3}\\&=&336379942682^{394}+23 \&=&341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&=&347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&=&367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&= &370396^38 {3}+58360453256^{3}\\&=&370633638081^{3}+39304147071^{3}\\&=&370779904362^{3}+7467391974^{3}\\\\\end{matriz} }

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (9)&\leq &136897813798023990395783317207361432493888\\&=&41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\&=&46756812032798^{3}+32610071299666^{3 }\\&=&47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&=&48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&=&51094952419111^{3}+151894776161\3}4{ &59^44 +8112103002584^{3}\\&=&51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&=&51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\3&8=&515^{08} +1037967^4848 \\\\\end{matriz}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (10)&\leq &7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=&15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=&17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3 } \\ & = & 178733391364113012^{3}+11757988429199376^{3} \\ & = & 182113305141754488^{3}+10901351979041108^{3} \ \ \ & 1926279797979279279279279279792792797927979279792797927979792797979279279279279279279279279279279279279279279279279279279797979797979 &19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=&19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=&19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=&19429379778270560^{3} +904069333568884^{3}\\&=&19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\\\\\end{matriz}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (11)&\leq &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=&11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\&=&12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3 }\\&=&12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\&=&13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&=&13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\&= &14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&=&14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\&=&14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\&=&14123302420417013824^{3} +1117386592077753452^{3}\\&=&14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\&=&14125594971660931122^{3}+284485090153030494\^{}}{3}+284485090153030494\^{}\^{

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (12)&\leq &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=&33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\&=&38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3 }\\&=&38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\&=&39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&=&40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\&= &41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&=&41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\&=&41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&=&41960331491058948071104^{3} +3319755565063005505892^{3}\\&=&41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\&=&41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&=&41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3 }\end{matriz}}

Historial de descubrimientos

El número Ta(2), también conocido como número de Hardy-Ramanujan , fue publicado por primera vez por Bernard Frenicle de Bessy en 1657. [cuatro]

John Leach obtuvo Ta(3) en 1957. E. Rosenthal, J. A. Dardis y K. R. Rosenthal encontraron Ta(4) en 1989 [5] . J. A. Dardis encontró Ta(5) en 1994 y fue confirmado por David W. Wilson en 1999 [6] [7] . El número Ta(6) fue anunciado por Uwe Hollerbach en NMBRTHRY (Number Theory Wiki) el 9 de marzo de 2008 [8] [9] . Los límites superiores para los números Ta(7) - Ta(12) fueron encontrados por Christian Boyer en 2006 [3] .

Números de taxi sin cubos

Problema de números de taxi con restricciones más estrictas, que requiere que los números no contengan cubos, es decir, que los números no sean divisibles por cubos de números distintos de 1 3 . Luego, el número de taxi T se escribe como T = x 3 + y 3 , donde los números x e y deben ser coprimos. Entre los números de taxi Ta(n) enumerados anteriormente, solo Ta(1) y Ta(2) no contienen cubos. El número más pequeño de taxis sin cubos con tres representaciones fue descubierto por Paul Vojta (inédito) en 1981, cuando era estudiante de posgrado. Este número

15170835645 = 517 3 + 2468 3 = 709 3 + 2456 3 = 1733 3 + 2152 3 .

El menor número de taxis sin cubos con cuatro representaciones fue descubierto por Stuart Gascoigne e, independientemente, por Duncan Moore en 2003. Este número

1801049058342701083 = 92227 3 + 1216500 3 = 136635 3 + 1216102 3 = 341995 3 + 1207602 3 = 600259 3 + 1165884 3

secuencia A080642 en OEIS .

Véase también

Ecuación diofántica
conjetura de euler
Número generalizado de taxis
la hipótesis de beal
Ecuación de Jacobi-Madden
Problema de Prue-Tarry-Escott
cuarteto pitagórico
Sumas de potencias , una lista de hipótesis y teoremas relacionados con las potencias

Notas

↑ Citas de G. H. Hardy, MacTutor History of Mathematics Archivado el 16 de julio de 2012.
↑ Silverman, 1993 , pág. 331–340.
↑ 1 2 "'Nuevos límites superiores para números de taxis y taxis" Christian Boyer, Francia, 2006–2008
↑ Thomas Ward, G. Everest. Una introducción a la teoría de números (neopr.) . - Londres: Springer Science + Business Media , 2005. - P. 117 -118. — ISBN 9781852339173 . .
↑ Columna Numbers Count, Personal Computer World, página 234, noviembre de 1989
↑ Columna Numbers Count de Personal Computer World, página 610, febrero de 1995
↑ "El quinto número de taxi es 48988659276962496" por David W. Wilson
↑ Archivos de NMBRTHRY: marzo de 2008 (#10) "El sexto número de taxi es 24153319581254312065344" por Uwe Hollerbach
↑ CS Calude, E. Calude y MJ Dinneen: ¿Cuál es el valor de Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, vol. 9 (2003), págs. 1196-1203

Literatura

José H. Silverman. Taxis y sumas de dos cubos // Amer. Matemáticas. Mensual. - 1993. - T. 100 . - S. 331-340 . -doi : 10.2307/ 2324954 .
GH Hardy, EMWright. Thm. 412 // Introducción a la teoría de los números . - 3.ª ed. - Londres y Nueva York: Oxford University Press, 1954.
J. Sanguijuela. Algunas soluciones de ecuaciones diofánticas // Proc. Cambridge Phil. Soc.. - 1957. - Emisión. 53 . - S. 778-780 .
E. Rosenstiel, JA Dardis, C. R. Rosenstiel. online Las cuatro soluciones mínimas en enteros positivos distintos de las ecuaciones diofánticas = x 3 + y 3 = z 3 + w 3 = u 3 + v 3 = m 3 + n 3 // Bol. Inst. Matemáticas. Appl.. - 1991. - Emisión. 27 . - S. 155-157 .
David W.Wilson. El quinto número de taxi es 48988659276962496 // Journal of Integer Sequences. - 1999. - T. 2 . Wilson desconocía el descubrimiento previo de Ta(5) por parte de JA Dardis en 1994 cuando escribió esto.
DJ Bernstein. Enumeración de soluciones para p(a) + q(b) = r(c) + s(d) // Matemáticas de computación. - 2000. - T. 70 , núm. 233 . - S. 389-394 .
CS Calude, E. Calude, MJ Dinneen:. ¿Cuál es el valor de Taxicab(6)? // Revista de Ciencias de la Computación Universal. - 2003. - T. 9 . - S. 1196-1203 .

Enlaces

Una publicación de 2002 en la lista de correo de teoría de números por Randall L. Rathbun
1729: número de taxi o número de Hardy-Ramanujan . Archivadoel 6 de marzo de 2017 enWayback Machine
Taxi y otras matemáticas en Euler
Singh, Simon Números de taxi en Futurama (enlace no disponible) . Consultado el 16 de abril de 2017. Archivado desde el original el 16 de mayo de 2017. (indefinido)