Entropía de un sistema dinámico

La entropía de un sistema dinámico es un número que expresa el grado de aleatoriedad de las trayectorias de un sistema dinámico . Hay entropía métrica , que describe la aleatoriedad de la dinámica en un sistema con una medida invariante para una elección aleatoria de la condición inicial para esta medida, y entropía topológica , que describe la aleatoriedad de la dinámica sin asumir la ley de elegir el punto inicial.

El principio variacional para la teoría de sistemas dinámicos establece que para un sistema dinámico continuo en un conjunto compacto, la entropía topológica es igual a la cota superior mínima de las métricas, tomando todas las opciones posibles de las medidas invariantes del sistema.

Entropía topológica

Deje que se dé un mapeo continuo de un conjunto compacto métrico en sí mismo. Entonces, la métrica on se define como $T$ ${\ estilo de visualización (X, d)}$ $d_{n}$ $X$

d_{n}(x,y)=\max _{0\leq j\leq n}d(T^{j}(x),T^{j}(y)),

en otras palabras, esta es la distancia máxima que las órbitas y divergen en las iteraciones. Además, para uno dado, decimos que un conjunto está separado si las distancias por pares entre sus puntos no son menores que , y la cardinalidad del conjunto más grande se denota por . Entonces, la entropía topológica del mapeo es el doble límite $X$ $y$ $norte$ ${\displaystyle\varepsilon>0,}$ ${\ estilo de visualización (n, \ varepsilon)}$ $d_{n}$ $\varepsilon$ ${\ Displaystyle N (n, \ varepsilon)}$ $T$

{\ Displaystyle h (T) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log N (n, \ varepsilon).}

El mismo valor se puede definir de manera diferente: si lo denotamos por la potencia de la red más pequeña, entonces ${\ Displaystyle M (n, \ varepsilon)}$ $\varepsilon$

{\ Displaystyle h (T) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log M (n, \ varepsilon).}

La equivalencia de estas definiciones se deduce fácilmente de las desigualdades. Vale la pena señalar que ambas definiciones formalizan el siguiente concepto no estricto: para un punto de partida desconocido, ¿cuánta información se necesita obtener por iteración para predecir una gran cantidad de iteraciones con un pequeño error fijo. $N(n,\varepsilon)\leq M(n,\varepsilon)\leq N(n,\varepsilon /2).$

Entropía métrica

Sea un sistema dinámico medible que conserva la medida. Por definición, la entropía de una partición es el número ${\ estilo de visualización (X, T, \ mu)}$ ${\displaystyle X=\bigcup_{j=1}^{n}\xi_{j))$

H(\xi ):=\sum _{j=1}^{n}-\mu (\xi _{j})\log \mu (\xi _{j}),

que determina la entropía de la información de la definición de un elemento de partición que contiene un punto aleatorio. $\mu$

Refinamiento iterativo de la partición , $\xi$

\xi ^{(k)}=\left\{\xi _{i_{1}}\cap T^{-1}(\xi _{i_{2}})\cap \dots \cap T^{-k+1}(\xi _{i_{k}})\mid 1\leq i_{1},\dots,i_{k}\leq n\right\}

determinar en qué elementos aparece el punto durante las iteraciones y, en consecuencia, el valor $\xi$ $k$

h_{\mu }(T,\xi )=\lim {\frac {1}{k}}H(\xi ^{(k)})

expresa la entropía de la información de dicho proceso. Finalmente, la entropía métrica de un mapeo en medida se define como el límite superior mínimo sobre todas las particiones posibles : $T$ $\mu$ $h_{\mu }(\xi )$ $\xi$

h_{\mu }(T):=\sup _{\xi }h_{\mu }(T,\xi ).

Literatura

Katok A. B. , Hasselblat B. Introducción a la Teoría Moderna de los Sistemas Dinámicos / trad. De inglés. A. Kononenko con la participación de S. Ferleger. - M. : Factorial, 1999. - 768 p. — ISBN 5-88688-042-9 .