Ergodicidad
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 13 de noviembre de 2020; la verificación requiere 1 edición .La ergodicidad es una propiedad especial de algunos sistemas dinámicos , que consiste en que en el proceso de evolución casi todos los estados pasan con cierta probabilidad cerca de cualquier otro estado del sistema.
Para los sistemas ergódicos, la expectativa matemática de la serie temporal debe coincidir con la expectativa matemática de la serie espacial. Es decir, para determinar los parámetros del sistema, se puede observar el comportamiento de uno de sus elementos durante mucho tiempo, o es posible considerar todos sus elementos (o bastantes elementos) en muy poco tiempo. Si el sistema tiene la propiedad de ergodicidad, en ambos casos se obtendrán los mismos resultados.
La ventaja de los sistemas dinámicos ergódicos es que, con suficiente tiempo de observación, dichos sistemas pueden describirse mediante métodos estadísticos . Por ejemplo, la temperatura de un gas es una medida de la energía promedio de una molécula. Primero necesitamos probar la ergodicidad de este sistema.
La teoría ergódica es una de las ramas de la dinámica general.
Definición
Sea un espacio de probabilidad y sea un mapeo que preserva la medida.
La aplicación T es ergódica con respecto a si se cumple la siguiente condición:
para cualquier subconjunto T -invariante (es decir, tal que ) o , o .
Notas
La definición es equivalente a las siguientes condiciones,
- Para cualquier subconjunto de medida positiva, tenemos ;
- Para cualesquiera dos conjuntos E y H de medida positiva, existe n > 0 tal que *: ;
- Cualquier función medible T -invariante es constante en casi todas partes.
Véase también
Literatura
- V. I. Arnold , A. Avets . Problemas ergódicos en mecánica clásica . - Moscú-Izhevsk: RHD, 1999.
- I. P. Kornfeld, Ya. G. Sinai , S. V. Fomin teoría ergódica. — M.: Nauka, 1980.
- Katok A. B. , Hasselblat B. Introducción a la Teoría Moderna de los Sistemas Dinámicos / trad. De inglés. A. Kononenko con la participación de S. Ferleger. - M. : Factorial, 1999. - 768 p. — ISBN 5-88688-042-9 .
- Katok A. B. , Hasselblat B. Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos con una revisión de los logros recientes / Per. De inglés. edición A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .
- Khinchin A. Ya. Fundamentos matemáticos de la mecánica estadística , M. - L., 1943.
- Nemytsky V. V. , Stepanov V. V. Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales , 2ª ed., M. - L., 1949.
- Halmos P. Conferencias sobre teoría ergódica: per. De inglés. - M., 1959.
- GD Birkhoff , Prueba del teorema ergódico, (1931), Proc Natl Acad Sci USA, 17 pp 656-660.
- J. von Neumann , Prueba de la hipótesis cuasi-ergódica, (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 pp 70-82.
- J. von Neumann , Aplicaciones físicas de la hipótesis ergódica, (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 pp 263-266.
Enlaces
- Teoría ergódica // Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.