Núcleo de Fejér

El kernel de Fejér es una función utilizada para la suma de Cesàro de series de Fourier o transformadas de Fourier , dada por la fórmula:

\Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)

donde está el núcleo de Dirichlet . En forma abreviada [1] : $D_{k}(x)$

\Phi _{n}(x)={\frac {1}{2(n+1))){\frac {\sin ^{2}{\frac {n+1}{2)) x}{\sin ^{2}{\frac {x}{2))))

Nombrado en honor al matemático húngaro Lipot Fejer .

Si es una función on y -periódica integrable , entonces: $f(x)$ $[-\pi,\pi]$ $2\pi$

\forall x\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} \;\;\sigma _{n}(f;x)=\int \limits _{-\pi } ^{\pi }f(xu)\Phi _{n}(u)du=\int \limits _{0}^{\pi }(f(xu)+f(x+u))\Phi_{ n}(u)du

Teorema de Fejér : si es una función periódica continua, son las sumas parciales de la serie de Fourier de esta función, y es la media aritmética de estas sumas parciales ( también llamada suma de orden de Fejér ), entonces converge uniformemente a . $f(x)$ $2\pi$ $S_k(x)$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {n} (x)}$ ${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=0}^{n}{S_{k}(x)))$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {n} (x)}$ $f(x)$

Si es una función par periódica positiva , entonces se cumplen las siguientes afirmaciones: $\Phi_{n}(x)$ $2\pi$

$\forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(u)du={\pi }$ ;
$\int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(u)du\rightarrow 0,\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _ {n}(u)du\rightarrow 0,n\rightarrow \infty$ para cualquier fijo . $\delta>0$

El kernel de Fejér para la integral de Fourier [2] :

F_{n}(x)={\frac {2}{\pi n}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n}{2}}x}{x^{2 }}}

Propiedades del kernel de Fejér para la integral de Fourier:

${\ Displaystyle F_ {n} (x) \ geqslant 0}$ ;
$\int _{-\infty}^{\infty}F_{n}(x)dx=1$ ;
$\int _{|x|\geqslant \delta}F_{n}(x)dx\rightarrow 0$ para cualquier fijo en . $\delta>0$ $n \rightarrow \infty$

Notas

↑ Shilov, 1961 , pág. 350.
↑ Shilov, 1961 , pág. 361.

Literatura

Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.
Método de suma de Fejér - Artículo de la Enciclopedia de las Matemáticas