D con transformación de guión

D con transformada de barra es una transformada integral asociada con transformadas de Laplace continuas y discretas . La D directa con una transformación de barra asocia la imagen de una función continua con la imagen de la función discreta correspondiente. Es ampliamente utilizado en secciones de teoría de control relacionadas con sistemas discretos.

Definición

Sea la imagen de Laplace de alguna función continua , y sea la imagen de la función discreta correspondiente , donde T es el período de muestreo, . ${\ Displaystyle X_ {T} (p)}$ ${\ estilo de visualización x_ {T} (t)}$ $X^{*}(q,\varepsilon)$ $x[n,\varepsilon]=x_{T}((n+\varepsilon)T)$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{0\))$

Introduzcamos una función . Después $X(q)={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {q}{T}}\right)$

X^{*}(q,\varepsilon)={\overline {\mathcal {D))}\{X(q)\}={\frac {1}{2\pi j))\int \limits _{cj\infty }^{c+j\infty }X(\eta ){\frac {e^{q}}{e^{q}-e^{\eta }}}e^{\ varepsilon \eta }d\eta ,~\mathrm {Re} \,q>c

Se puede demostrar [1] que

X^{*}(q,\varepsilon)=\sum_k=1}^{l}{\underset {\eta =\eta_{k)){\mathrm {Res} }}{ \frac {e^{q}e^{\varepsilon \eta}}{e^{q}-e^{\eta}}}X(\eta),

donde los residuos se toman en todos los polos de la función , y que ${\ estilo de visualización X (q)}$

X^{*}(q,\varepsilon)=\sum_{r=-\infty}^{+\infty}e^{\varepsilon (q+2\pi jr)}X(q+2 \pijr)

Fórmula para D inversa con conversión de barra:

X(q)={\overline {\mathcal {D))}^{-1}\{X^{*}(q,\varepsilon)\}=\int \limits _{0}^{ 1}e^{-q\varepsilon}X^{*}(q,\varepsilon)d\varepsilon

Propiedades

Linealidad: ${\overline {\mathcal {D))}\left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{i}(q)\right\}=\sum _{i=1}^{n}\alpha_{i}{\overline {\mathcal {D}}}\{X_{i}(q)\}$
Multiplicar por : $e^{kq},~k\en \mathbb {Z}$ ${\overline {\mathcal {D}}}\{e^{kq}X(q)\}=e^{kq}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q) \}$
Multiplicar por : $e^{-\gamma q},~0<\gamma <1$ ${\overline {\mathcal {D))}\{e^{-\gamma q}X(q)\}={\begin{cases}e^{-q}X^{*}(q ,1+\varepsilon -\gamma ),&0\leqslant \varepsilon <\gamma ,\\X^{*}(q,\varepsilon -\gamma ),&\gamma \leqslant \varepsilon <1\end{casos} }$
Desplazar q por ±λ: ${\overline {\mathcal {D))}\{X(q\pm \lambda )\}=e^{\mp \lambda \varepsilon }X^{*}(q\pm \lambda ,\ varepsilon)$
Multiplicación por q: ${\overline {\mathcal {D}}}\{qX(q)\}={\frac {\parcial}}{\parcial \varepsilon}}{\overline {\mathcal {D}}}\{ X(q)\}$
División por q: ${\overline {\mathcal {D}}}\left\{{\frac {X(q)}{q}}\right\}=\int \limits _{0}^{\varepsilon }{ \overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}d\varepsilon +{\frac {1}{e^{q}-1}}\int \limits _{0}^{1} {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}d\varepsilon$
Diferenciación con respecto a q: ${\overline {\mathcal {D))}\left\({\frac {d}{dq))X(q)\right\}={\frac {\parcial }{\parcial q)) {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}-\varepsilon {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}$

Tabla de algunas transformaciones

$X_{T}(s)={\mathcal {L}}\{x_{T}(t)\}$	$X(q)={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {q}{T}}\right)$	$X^{*}(q,\varepsilon)={\mathcal {D}}\{x[n,\varepsilon]\}={\overline {\mathcal {D}}}\{X(q )\}$
${\frac{1}{s))$	${\frac{1}{q))$	${\frac{e^{q}}{e^{q}-1}}$
${\frac{T}{Ts+\beta}}$	${\frac {1}{q+\beta}}$	${\frac {e^{q}e^{-\beta \varepsilon}}{e^{q}-e^{-\beta}}}$
${\displaystyle {\frac {T}{T^{2}s^{2}+2\zeta Ts\beta +\beta ^{2))))$	${\displaystyle {\frac {1}{q^{2}+2\zeta q\beta +\beta ^{2))))$	${\frac {e^{q}e^{-\zeta \beta \varepsilon}(e^{q}\sin \beta \varepsilon {\sqrt {1-\zeta ^{2))}+ e^{-\zeta \beta }\sin \beta (1-\varepsilon){\sqrt {1-\zeta ^{2))})}{\beta {\sqrt {1-\zeta ^{2} }}(e^{2q}-2e^{q}e^{-\zeta \beta }\cos \beta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+e^{-2\zeta \ beta })}}$

Notas

↑ Golovanov M. A., Ivanov V. A. Notas de clase sobre el curso "Teoría de los sistemas de control automático digital": Parte 1. - M .: MGTU Publishing House, 1990. - S. 44−46.