Transformada de Laplace

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La transformada de Laplace (ℒ) es una transformación integral que conecta una función de variable compleja ( imagen ) con una función de variable real ( original ). Con su ayuda, se investigan las propiedades de los sistemas dinámicos y se resuelven ecuaciones diferenciales e integrales . $\F(s)$ $\f(x)$

Una de las características de la transformada de Laplace, que predeterminó su uso generalizado en los cálculos científicos y de ingeniería, es que muchas proporciones y operaciones en los originales corresponden a proporciones más simples en sus imágenes. Así, la convolución de dos funciones en el espacio de las imágenes se reduce a la operación de multiplicación, y las ecuaciones diferenciales lineales se vuelven algebraicas.

Definición

Transformada directa de Laplace

La transformada de Laplace de una función de variable real es una función de variable compleja [1] , tal que: $\pie)$ $\F(s)$ $s=\sigma +i\omega$

F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{{-st}}f(t) \,dt.

El lado derecho de esta expresión se llama integral de Laplace .

La función se llama original en la transformada de Laplace, y la función se llama imagen de la función . $pie)$ $F$ $pie)$

En la literatura, la relación entre el original y la imagen se suele denotar de la siguiente manera: y , y la imagen suele escribirse con mayúscula. $f(t)\risingdotseq F(s)$ $F(s)\fallingdotseq f(t)$

Transformada inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace de una función de variable compleja es una función de variable real tal que: $F(s)\$ $pie)\$

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim_{\omega \rightarrow \infty }\int \limits _{\sigma _{1}-i\omega }^{\sigma _{1}+i\omega }e^{st}F(s)\,ds,

donde es algún número real (ver condiciones de existencia ). El lado derecho de esta expresión se llama integral de Bromwich [2] . $\sigma _{1}\$

Transformada de Laplace bidireccional

La transformada bilateral de Laplace es una generalización para el caso de problemas en los que intervienen los valores para la función . $f(x)\$ $x<0$

La transformada de Laplace de dos caras se define de la siguiente manera:

F(s)={\mathcal {L}}\{f(x)\}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-sx}}f (x)\,dx.

Transformada discreta de Laplace

Se utiliza en el campo de los sistemas de control informático. La transformada discreta de Laplace se puede aplicar a funciones de red.

Distinguir entre -transformación y -transformación. $D\$ $Z\$

$D\$ -conversión

Sea una función reticular, es decir, los valores de esta función se determinan solo en tiempos discretos , donde es un número entero y es el período de muestreo. $x_{d}(t)=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty}x(nT)\cdot \delta (t-nT)$ $Nuevo Testamento\$ $norte\$ $T\$

Luego, aplicando la transformada de Laplace, obtenemos:

{\mathcal {D}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty}x(nT)\cdot e^{{-snT}} .

$Z\$ -conversión

Si aplicamos el siguiente cambio de variables:

z=e^{{sT}},

obtenemos -transformación: $Z$

{\mathcal {Z}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty}x(nT)\cdot z^{{-n}} .

Propiedades y teoremas

Convergencia absoluta

Si la integral de Laplace converge absolutamente en , es decir, hay un límite $\sigma=\sigma_{0}$

\lim _{{b\to \infty}}\int \limits _{0}^{b}|f(x)|e^{{-\sigma _{0}x}}\,dx=\int \limits _{0}^{\infty}|f(x)|e^{{-\sigma _{0}x}}\,dx,

entonces converge absoluta y uniformemente para y es una función analítica para ( es la parte real de la variable compleja ). El mínimo exacto del conjunto de números , bajo el cual se cumple esta condición, se llama abscisa de la convergencia absoluta de la transformada de Laplace para la función . $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ $F$ $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ $\sigma ={\mathrm {Re}}\,s$ $s$ $\sigma _{a}$ $\sigma$ $f(x)$

Condiciones para la existencia de la transformada directa de Laplace

La transformada de Laplace existe en el sentido de convergencia absoluta en los siguientes casos: ${\mathcal {L}}\{f(x)\}$

$\sigma \geqslant 0$ : la transformada de Laplace existe si existe la integral ; $\int \limites _{0}^{\infty}|f(x)|\,dx$
$\sigma >\sigma _{a}$ : la transformada de Laplace existe si la integral existe para todo finito y para ; $\int \limites _{0}^{{x_{1}}}|f(x)|\,dx$ $x_{1}>0$ $|f(x)|\leqslant Ke^{{\sigma _{a}x}}$ $x>x_{2}\geqslant 0$
$\sigma >0$ o (el límite que sea mayor): existe una transformada de Laplace si existe una transformada de Laplace para la función ( derivada de ) para . $\sigma >\sigma _{a}$ $f'(x)$ $f(x)$ $\sigma >\sigma _{a}$

Nota : estas son condiciones suficientes para la existencia.

Condiciones para la existencia de la transformada inversa de Laplace

Para la existencia de la transformada inversa de Laplace, es suficiente que se cumplan las siguientes condiciones:

Si la imagen es una función analítica para y tiene un orden menor que −1, entonces la transformación inversa para ella existe y es continua para todos los valores del argumento y para . $F$ $\sigma \geqslant \sigma _{a}$ ${\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(s)\}=0$ $t\leqslant 0$
Sea , por lo que es analítico con respecto a cada uno y es igual a cero para , y , entonces existe la transformación inversa y la transformación directa correspondiente tiene una abscisa de convergencia absoluta. $F(s)=\varphi [F_{1}(s),\;F_{2}(s),\;\ldots,\;F_{n}(s)]$ $\varphi (z_{1},\;z_{2},\;\ldots,\;z_{n})$ $z_{k}$ $z_{1}=z_{2}=\ldots =z_{n}=0$ $F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\}\;\;(\sigma >\sigma_{{ak}}\colon k=1,\; 2,\;\ldots ,\;n)$

Nota : estas son condiciones suficientes para la existencia.

teorema de convolución

La transformada de Laplace de una convolución de dos originales es el producto de las imágenes de estos originales:

{\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x) )\}.

Prueba

para convolución

(f*g)(x)=\int _{0}^{\infty}dy\,f(xy)g(y)

Transformada de Laplace:

{\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty}dx\,e^{-sx}\int _ {0}^{\infty}dy\,f(xy)g(y)

Para una nueva variable ${\ estilo de visualización t = xy, \; x = t + y}$

{\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty}dt\,e^{-s(t+y )}\int _{0}^{\infty }dy\,f(t)g(y)=\int _{0}^{\infty }dt\,e^{-st}f(t)\ int _{0}^{\infty}dy\,e^{-sy}g(y)={\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}\cdot {\mathcal {L }}\izquierda\{g(x)\derecha\}

■

multiplicación de imágenes

f(x)g(0)+\int \limits _{0}^{x}f(x-\tau )g'(\tau )\,d\tau =sF(s)G(s).

El lado izquierdo de esta expresión se llama la integral de Duhamel , que juega un papel importante en la teoría de los sistemas dinámicos .

Diferenciación e integración del original.

La imagen según Laplace de la primera derivada del original con respecto al argumento es el producto de la imagen y el argumento de este último menos el original en cero a la derecha:

{\mathcal {L}}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+}).

En un caso más general ( derivada de ésimo orden) : $norte$

{\mathcal {L}}\{f^{(n)}(x)\}=s^{n}\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+ })-s^{n-2}f^{(1)}(0^{+})-\ldots -sf^{(n-2)}(0^{+})-f^{(n -1)}(0^{+}).

La imagen de Laplace de la integral del original con respecto al argumento es la imagen del original dividida por su argumento:

{\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{x}f(t)\,dt\right\}={\frac {F(s)}{s}}.

Diferenciación e Integración de Imágenes

La transformada inversa de Laplace de la derivada de la imagen con respecto al argumento es el producto del original y su argumento, tomado con signo contrario:

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{F'(s)\}=-xf(x).

La transformada inversa de Laplace de la integral de la imagen sobre el argumento es la original de esta imagen dividida por su argumento:

{\mathcal {L}}^{{-1}}\left\{\int \limits _{s}^{{+\infty }}F(s)\,ds\right\}={\frac { f(x)}{x}}.

Demora de originales e imágenes. Teoremas de límite

Retraso de la imagen:

{\mathcal {L}}\{e^{{ax}}f(x)\}=F(sa);

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(sa)\}=e^{{ax}}f(x).

Retraso original:

{\mathcal {L}}\{f(ta)H(ta)\}=e^{{-as}}F(s);

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{e^{{-as}}F(s)\}=f(xa)H(xa).

donde es la función de Heaviside . $H(x)$

Teoremas del valor inicial y final (teoremas del límite):

f(\infty)=\lim _{{s\to 0}}sF(s)

si todos los polos de la función están en el semiplano izquierdo.

{\ estilo de visualización sF (s)}

El teorema del valor finito es muy útil porque describe el comportamiento del original en el infinito con una relación simple. Esto se usa, por ejemplo, para analizar la estabilidad de la trayectoria de un sistema dinámico.

Otras propiedades

Linealidad :

{\mathcal {L}}\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s).

Multiplicar por número:

{\mathcal {L}}\{f(ax)\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right).

Transformada directa e inversa de Laplace de algunas funciones

A continuación se muestra la tabla de transformación de Laplace para algunas funciones.

No.	Función	Dominio del tiempo $x(t)={\mathcal {L}}^{{-1}}\{X(s)\}$	dominio de la frecuencia $X(s)={\mathcal {L}}\{x(t)\}$	Dominio de Convergencia para Sistemas Causales
una	función delta	$\ delta (t) \$	$una\$	$\para todos\$
1a	función delta rezagada	$\delta (t-\tau)\$	$e^{{-\tau s}}\$
2	Retardo de -ésimo orden con cambio de frecuencia $norte$	${\frac {(t-\tau)^{n}}{n!}}e^{{-\alpha (t-\tau)))\cdot H(t-\tau)$	${\frac {e^{{-\tau s}}}{(s+\alpha )^{{n+1))))$	${\ estilo de visualización s> 0}$
2a	poder -th orden $norte$	${\frac{t^{n}}{n!}}\cdot H(t)$	${\frac{1}{s^{{n+1))))$	${\ estilo de visualización s> 0}$
2a.1	poder -th orden $q$	${\frac {t^{q}}{\Gamma (q+1)}}\cdot H(t)$	${\frac{1}{s^{{q+1))))$	${\ estilo de visualización s> 0}$
2a.2	Función Heaviside	$H(t)\$	${\frac{1}{s))$	${\ estilo de visualización s> 0}$
2b	función de Heaviside retrasada	$H(t-\tau)\$	${\frac {e^{{-\tau s}}}{s}}$	${\ estilo de visualización s> 0}$
2c	"paso de velocidad"	$t\cdot H(t)\$	${\ fracción {1}{s^{2}}}$	${\ estilo de visualización s> 0}$
2d	$norte$ -ésimo orden con cambio de frecuencia	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{{-\alpha t}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{(s+\alfa)^{{n+1))))$	${\ estilo de visualización s>-\ alfa}$
2d.1	Decrecimiento exponencial	$e^{{-\alfa t}}\cdot H(t)\$	${\frac{1}{s+\alfa})$	$s>-\alfa\$
3	aproximación exponencial	$(1-e^{{-\alpha t}})\cdot H(t)\$	${\frac {\alfa }{s(s+\alfa )))$	$s>0\$
cuatro	seno	$\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2))}$	$s>0\$
5	coseno	$\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}}$	$s>0\$
6	seno hiperbólico	${\mathrm {sh}}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {\alfa }{s^{2}-\alfa^{2))}$	$s>\|\alfa \|\$
7	coseno hiperbólico	${\mathrm {ch}}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac{s}{s^{2}-\alfa^{2}}}$	$s>\|\alfa \|\$
ocho	seno exponencialmente decreciente	$e^{{-\alpha t}}\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2))}$	$s>-\alfa\$
9	coseno exponencialmente decreciente	$e^{{-\alpha t}}\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\ frac {s+\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2))}$	$s>-\alfa\$
diez	la raíz $norte$	${\sqrt[ {n}]{t}}\cdot H(t)$	$s^{{-(n+1)/n}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	${\ estilo de visualización s> 0}$
once	logaritmo natural	$\ln \left({\frac {t}{t_{0))}\right)\cdot H(t)$	$-{\frac{t_{0}}{s}}[\ln(t_{0}s)+\gamma]$	${\ estilo de visualización s> 0}$
12	Función de Bessel de primer orden $norte$	$J_{n}(\omega t)\cdot H(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2))}\right)^{{-n))}{{\sqrt {s^ {2}+\omega ^{2}}}}}}$	$s>0\$ $(n>-1)\$
13	función de Bessel modificada de primer tipo de orden $norte$	$I_{n}(\omega t)\cdot H(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2))}\right)^{{-n))}{{\sqrt {s^ {2}-\omega^{2}}}}}$	$s>\|\omega \|\$
catorce	función de Bessel de orden cero de segundo tipo	$Y_{0}(\alpha t)\cdot H(t)\$	$-{\frac {2{\mathrm {arsh}}(s/\alpha )}{\pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2))))}$	$s>0\$
quince	función de Bessel modificada de segundo tipo de orden cero	$K_{0}(\alpha t)\cdot H(t)$
dieciséis	función de error	${\mathrm {erf}}(t)\cdot H(t)$	${\frac{e^{{s^{2}/4}}{\mathrm {erfc}}(s/2)}{s}}$	${\ estilo de visualización s> 0}$
Notas de la tabla: $H(t)\$ es la función de Heaviside ; $\ delta (t) \$ - función delta ; $\gamma (z)\$ - función gama ; $\gamma \$ es la constante de Euler-Mascheroni ; $t\$ es una variable real; $s\$ es una variable compleja; $\alfa\$ , y son números reales ; $\beta\$ $\ tau \$ $\omega\$ $norte\$ es un entero Un sistema causal es un sistema en el que la función de transferencia de impulsos es cero para cualquier momento en el tiempo . $h(t)\$ $t<0\$

Aplicaciones de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace tiene una amplia aplicación en muchas áreas de las matemáticas ( cálculo operativo ), la física y la ingeniería :

Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales e integrales : utilizando la transformada de Laplace, es fácil pasar de conceptos complejos de análisis matemático a relaciones algebraicas simples. [3]
Cálculo de funciones de transferencia de sistemas dinámicos, como, por ejemplo, filtros analógicos .
Cálculo de señales de salida de sistemas dinámicos en teoría de control y procesamiento de señales : dado que la señal de salida de un sistema estacionario lineal es igual a la convolución de su respuesta de impulso con la señal de entrada, la transformada de Laplace le permite reemplazar esta operación con una simple multiplicación .
Cálculo de circuitos eléctricos. Se produce resolviendo ecuaciones diferenciales que describen el circuito utilizando el método del operador.
Solución de Problemas No Estacionarios de Física Matemática .

El procedimiento para resolver una ecuación diferencial usando la transformada de Laplace es el siguiente:

De acuerdo con el efecto de entrada dado, se encuentra una imagen usando las tablas de correspondencia.
Según d.s. crear una función de transferencia.
Encuentre la imagen de magnitud de los puntos 1 y 2.
Definir originales. [cuatro]

Relación con otras transformaciones

Conexiones fundamentales

Casi todas las transformaciones integrales son de naturaleza similar y se pueden obtener unas de otras mediante expresiones de correspondencia. Muchos de ellos son casos especiales de otras transformaciones. Además, se dan fórmulas que relacionan las transformadas de Laplace con algunas otras transformaciones funcionales.

Transformada de Laplace-Carson

La transformada de Laplace-Carson (a veces llamada simplemente transformada de Carson, a veces, no del todo correctamente, usan la transformada de Carson, llamándola transformada de Laplace) se obtiene de la transformada de Laplace multiplicando la imagen por una variable compleja:

{\mathcal {L}}_{K}\{f(x)\}=sF(s).

La transformada de Carson es muy utilizada en la teoría de circuitos eléctricos, ya que con tal transformación coinciden las dimensiones de la imagen y la original, por lo que los coeficientes de las funciones de transferencia tienen un significado físico.

Transformada de Laplace bidireccional

La transformada de Laplace de dos lados está relacionada con la transformada de Laplace de un lado usando la siguiente fórmula: ${\mathcal {L}}_{B}$

{\mathcal {L}}_{B}\{f(x);\;s\}={\mathcal {L}}\{f(x);\;s\}+{\mathcal {L} }\{f(-x);\;-s\}.

Transformada de Fourier

La transformada continua de Fourier es equivalente a la transformada bilateral de Laplace con un argumento complejo : $s=i\omega$

F(\omega)={\mathcal {F}}\{f(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}{\Big |}_{{s=i\omega }}=F(s){\Big |}_{{s=i\omega }}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-i\ omega x}}f(x)\,dx.

Nota: estas expresiones omiten el factor de escala , que a menudo se incluye en las definiciones de la transformada de Fourier. ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$

La relación entre las transformadas de Fourier y Laplace se utiliza a menudo para determinar el espectro de frecuencia de una señal o sistema dinámico .

Transformación de Mellin

La transformada de Mellin y la transformada de Mellin inversa están relacionadas con la transformada de Laplace de dos lados por un simple cambio de variables. Si en la transformada de Mellin

G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }\theta ^{s}{\frac {g (\theta)}{\theta}}\,d\theta

establecemos , luego obtenemos la transformada de Laplace de dos colas. $\theta =e^{{-x}}$

Transformada Z

$Z$ -transformación es la transformada de Laplace de una función de red, realizada mediante un cambio de variables:

z\equiv e^{{sT}},

donde es el período de muestreo y es la frecuencia de muestreo de la señal. $T=1/f_{s}\$ $f_{s}\$

La conexión se expresa mediante la siguiente relación:

X_{q}(s)=X(z){\Grande |}_{{z=e^{{sT))))

Transformación Borel

La forma integral de la transformada de Borel es idéntica a la transformada de Laplace, también existe una transformada de Borel generalizada , con la que el uso de la transformada de Laplace se extiende a una clase más amplia de funciones.

Véase también

Notas

↑ En la literatura rusa, también se denota por . Véase, por ejemplo, Ditkin V. A., Kuznetsov P. I. Handbook of Operational Calculus: Fundamentals of Theory and Tables of Formulas. - M. : Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1951. - 256 p. $\estilo de script {p}$
↑ Zheverzheev V.F., Kalnitsky L.A., Sapogov N.A. Curso especial de matemáticas superiores para instituciones de educación superior. - M., Escuela Superior , 1970. - p. 231
↑ Vashchenko-Zakharchenko M.E. Cálculo simbólico y su aplicación a la integración de ecuaciones diferenciales lineales. - Kyiv, 1862.
↑ Arquitectura del sistema de control automático para un grupo de pequeños vehículos aéreos no tripulados // Tecnologías de la información y sistemas informáticos. — 2018-03-20. — ISSN 2071-8632 . -doi : 10.14357 / 20718632180109 .

Literatura

Van der Pol B., Bremer H. . Cálculo operacional basado en la transformada bilateral de Laplace. - M. : Editorial de literatura extranjera, 1952. - 507 p.
Ditkin V.A. , Prudnikov A.P. Transformaciones integrales y cálculo operacional. - M. : La edición principal de la literatura física y matemática de la editorial Nauka, 1974. - 544 p.
Ditkin V. A., Kuznetsov P. I. . Manual de Cálculo Operacional: Fundamentos de Teoría y Tablas de Fórmulas. - M. : Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1951. - 256 p.
Carslow H., Jaeger D. Métodos operativos en matemáticas aplicadas. - M. : Editorial de literatura extranjera, 1948. - 294 p.
Kozhevnikov N. I., Krasnoshchekova T. I., Shishkin N. E. . Series de Fourier e integrales. Teoría de campos. Funciones analíticas y especiales. Transformaciones de Laplace. — M .: Nauka, 1964. — 184 p.
Krasnov M. L., Makarenko G. I. . cálculo operacional. Estabilidad del movimiento. — M .: Nauka, 1964. — 103 p.
Mikusinsky Ya . Cálculo del operador. - M. : Editorial de literatura extranjera, 1956. - 367 p.
Romanovsky P. I. Series de Fourier. Teoría de campos. Funciones analíticas y especiales. Transformaciones de Laplace. - M. : Nauka, 1980. - 336 p.

Enlaces

Transformada de Laplace y algunas de sus propiedades (dsplib.org) Archivado el 12 de agosto de 2018 en Wayback Machine .
Transformada de Laplace en exponenta.ru

Transformaciones integrales
transformada abel Transformaciones de Bessel Transformación bosquimana Transformación de Gegenbauer Transformada de Hilbert Transformación de Kontorovich-Lebedev Transformada de Laplace Transformada de Meyer Transformación de Mehler-Fock Transformada de Mellin Transformada de Nerain Transformación de radón Transformación de Stieltjes Transformada de Fourier Transformada de Hankel Transformada de Hartley

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