Puntuación Z

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Una puntuación estandarizada ( z-score , inglés: Standard score , z-score ) es una medida de la dispersión relativa de un valor observado o medido, que muestra cuántas desviaciones estándar produce su dispersión media relativa . Es una estadística adimensional utilizada para comparar valores de diferentes dimensiones o escalas de medida.

Información básica

En teoría de probabilidad y estadística, una variable aleatoria estandarizada [1] es una variable aleatoria cuya expectativa matemática es cero y cuya desviación estándar es uno. Cualquier variable aleatoria x con expectativa matemática y desviación estándar se puede reducir a una variable aleatoria estandarizada usando la fórmula: . Esta transformación incluye el centrado de variables aleatorias (la diferencia entre una variable aleatoria dada x y su media ) y la normalización (la relación de una variable aleatoria dada x con su desviación estándar ). La distribución de una variable aleatoria normal estandarizada se llama distribución normal estándar con una función de densidad . $\mu$ $\sigma$ $z$ ${x-\mu\over\sigma}$ ${\ estilo de visualización {(x-\ mu)))$ $\mu$ ${\ Displaystyle {x \ sobre \ sigma}}$ $\sigma$ $z$ $N(0,1)$ $f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-z^{2}}{2}}\right)$

El concepto de variable aleatoria estandarizada es un caso especial de variable aleatoria reducida definida por un valor central relativo y un parámetro de escala distinto de la media y la desviación estándar.

En aplicaciones prácticas, cualquier conjunto de datos con media y desviación estándar se puede convertir a otro conjunto con media y desviación estándar de tal manera que los valores convertidos se expresen directamente en desviaciones de los valores originales de la media medida. en unidades de desviación estándar. $x_{yo}$ ${\bar {X}}$ $S$ ${\ estilo de visualización 0}$ $una$ $z$

El hecho de que los puntajes z pertenezcan a la distribución normal estándar brinda la posibilidad de usar puntajes z para comparar valores no uniformes de mediciones primarias. La mayoría de los métodos estadísticos se basan en la suposición de que la distribución de datos es normal, por lo que el uso de puntuaciones z junto con la transformación a la normalidad amplía enormemente las posibilidades de análisis e investigación posteriores. $N(0,1)$

Método de cálculo

La estimación del valor estandarizado se calcula mediante la fórmula [2] : $X$

z={x-{\bar {X}} \sobre S_{x}}

donde es el valor medio de , es la desviación estándar calculada para el conjunto de datos . ${\bar {X}}$ $S_{x}$ ${\ estilo de visualización xi}$

Los valores pueden ser calculados a partir de datos muestrales, u obtenidos en la población general , o establecidos para alguna población . ${\bar {X}}$ $S_{x}$

Interpretación

El valor absoluto de z es una estimación (en unidades de desviación estándar) de la distancia entre x y su media poblacional μ . Si z es menor que cero, entonces x está por debajo del promedio, si z es mayor que cero, entonces x está ubicado por encima del promedio μ .

Los valores no solo son un medio conveniente de información sobre la posición de algún valor asociado a la media y medido en unidades de desviación estándar, sino también un paso adelante en la conversión del conjunto a una escala arbitraria con características convenientes de media y desviación estándar. . $z$ ${\ estilo de visualización xi}$

Percentil equivalente de z-scores

Dado que la distribución de las puntuaciones z se aproxima mediante una distribución normal estándar, existe una correspondencia uno a uno entre los percentiles (cuartiles de orden q) y los valores z. Esto le permite traducir sin ambigüedades la escala de gradaciones o puntos de rango en valores de puntaje z y viceversa (por ejemplo, el valor z = -3 corresponde al percentil 0.13, z = - 2 al percentil 2.3, z = -1 al percentil 15,9, etc.). $\Flecha correcta$ $\Flecha correcta$

Aplicación práctica

Hay muchas escalas de medición con medias arbitrarias y desviaciones estándar que son comunes en las ciencias sociales.

Pedagogía y psicología

Los puntajes de escala son comunes, cuando los puntajes de las pruebas se establecen en función de su lugar en una escala especial que contiene datos sobre los estándares de desempeño de las pruebas intragrupo.Los puntajes de las pruebas de inteligencia a menudo se convierten a una escala con un promedio de 100 y una desviación estándar de 15 o 16. Los valores son indicadores [3] , computados como tienen una amplia aplicación. $T$ ${\ estilo de visualización 10z+50}$

Otro ejemplo de una transformación no lineal en una escala estándar es el estándar nueve , cuando los indicadores primarios se clasifican en orden ascendente y se dividen en grupos con un número proporcional a ciertas frecuencias de evaluaciones de la distribución normal, las evaluaciones resultantes toman valores del 1 al 9 ( =5, =2 ). Hay muchas escalas basadas en puntajes estandarizados. $\mu$ $\sigma$

Pediatría

La normalización se utiliza para describir las características de los pacientes, teniendo en cuenta su heterogeneidad. En la práctica pediátrica, se ha utilizado ampliamente la puntuación de desviación estándar (sds), que se calcula sobre la base de la media muestral y la desviación estándar de los indicadores de referencia de un niño de un sexo y una edad determinados [4] . La desviación de las distribuciones de los indicadores de desarrollo físico de lo normal condujo al uso de centrar los valores medidos por la mediana en lugar de la media , donde es la mediana y son los percentiles 10 y 90 del indicador de referencia de un niño de mismo sexo y edad. ${x-{\bar {X}} \sobre S_{x}}$ ${\bar {X}}$ $S_{x}$ ${x-Yo \sobre Pr90-Pr10}$ ${\ estilo de visualización Yo}$ ${\ estilo de visualización Pr10, Pr90}$

La necesidad de tener en cuenta la forma de las distribuciones de los indicadores de desarrollo físico [5] , condujo al uso de un puntaje z calculado como

$z={\begin{casos}{\frac {(y/M)^{L}-1)}{L\ S)),&{\text{if }}L\neq 0\\{ \frac {1}{S}}ln(y/M),&{\text{ si }}L=0\end{casos}}$

donde y es el valor medido del indicador, es el coeficiente de transformación de Box-Cox a la normalidad, es la mediana, es el coeficiente de variación del indicador de referencia o patrón de un niño del mismo sexo y edad. $L$ $METRO$ $S$

Las directrices modernas de la OMS presentan valores estándar y de referencia de los coeficientes L, M, S para el estudio del desarrollo físico de los niños [6] , y para trabajar con ellos se ha desarrollado el software WHO ANTHROPlus [7] .

Véase también

Variación (estadística)

Notas

↑ GOST R 50779.10-2000 (ISO 3534.1-93) Métodos estadísticos. Probabilidad y bases de la estadística. Términos y definiciones
↑ Melnik M. Fundamentos de estadística aplicada. - Moscú: Energoatomizdat, 1983. - 416 p.
↑ J. Vidrio, J. Stanley. Métodos estadísticos en pedagogía y psicología. - Progreso, 1976. - 496 p.
↑ Veltishchev Yu. E. Indicadores objetivos del desarrollo normal y el estado de salud del niño (estándares para la infancia). - Moscú, 2002. - Pág. 96. - ISBN NLA 575 / BN2-25072017 / 89.
↑ Borghi E. Construcción de los estándares de crecimiento infantil de la Organización Mundial de la Salud: selección de métodos para obtener curvas de crecimiento // Estadísticas en medicina. - 2006. - T. 25 . — S. 247–265 .
↑ Estándares de crecimiento infantil de la OMS . Organización Mundial de la Salud . Consultado el 23 de octubre de 2017. Archivado desde el original el 22 de octubre de 2017. (indefinido)
↑ Herramienta de software Anthro de la OMS para computadoras personales . Patrones de crecimiento infantil de la OMS . Consultado el 23 de octubre de 2017. Archivado desde el original el 21 de octubre de 2017. (indefinido)