Axioma de elección dependiente

El axioma de elección dependiente es uno de los debilitamientos del axioma de elección . Por lo general, se denota como . El axioma de elección dependiente se deriva del axioma de elección completo e implica el axioma de elección contable , por lo tanto en . ${\ estilo de visualización \ matemáticas {DC}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {ZF}}$ $\mathbf {AC} _{\omega }<\mathbf {DC} <\mathbf {AC}$

Enunciado: si se da un conjunto arbitrario no vacío con una relación completa a la izquierda (la relación se llama completa a la izquierda si para alguna existe , que ), entonces hay una secuencia de elementos tal que [1] : $X$ $R$ $R$ $X$ $y$ $xRy$ $x_{n}$ $X$

\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}Rx_{n+1}

Los siguientes enunciados son equivalentes en el axioma de elección dependiente: el teorema de la categoría de Baer [2] ; Teorema de Löwenheim-Skolem [3] [4] ; Lema de Zorn para cadenas finitas . El lema de Zorn para cadenas finitas tiene dos formulaciones equivalentes: ${\ estilo de visualización \ mathbf {ZF}}$

si en un conjunto parcialmente ordenado todas las cadenas son finitas, entonces el conjunto tiene un elemento máximo. [1] ;
si en un conjunto parcialmente ordenado todas las cadenas bien ordenadas son finitas, entonces el conjunto tiene un elemento máximo. [5]

(Aunque la segunda formulación es más fuerte que la primera, son equivalentes en ). ${\ estilo de visualización \ mathbf {ZF}}$

Generalizaciones

Axioma de elección dependiente para sucesiones transfinitas: si en la formulación del axioma de elección dependiente permitimos no solo sucesiones contables, sino también transfinitas, podemos obtener un reforzamiento de este axioma.

Sea algún ordinal. La función se llama secuencia transfinita de tipo . Denote por el conjunto de todas las secuencias de tipo menor que . El axioma de elección dependiente para sucesiones transfinitas se formula para un cierto ordinal inicial y se denota como . $\gama$ $x_{\alpha }\colon \gamma \to X$ $\gama$ ${\ Displaystyle S_ {\ gamma}}$ $\gama$ $\lambda$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {DC} _ {\ lambda}}$

Sea un conjunto no vacío y una relación binaria completa a la izquierda . Luego afirma que hay una secuencia transfinita de tipo tal que [5] . $X$ $R\subconjunto S_{\gamma}\veces X$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {DC} _ {\ lambda}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\en \lambda ))$ $\lambda$ $\forall \mu <\lambda \colon \{a_{n}\}_{n\in \mu }Ra_{\mu }$

El axioma es equivalente a . Las generalizaciones para ordinales grandes son estrictamente más fuertes que él, pero más débiles que el axioma de elección completo: . El cumplimiento de cualquier ordinal inicial es equivalente al axioma de elección completo: [6] . ${\ estilo de visualización \ mathbf {DC} _ {\ omega}}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {DC}}$ $\mathbf {DC} <\mathbf {DC}_{\omega_{1}}<\mathbf {DC}_{\omega_{2}}<\ldots <\mathbf {AC}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {DC} _ {\ lambda}}$ $(\forall \lambda \colon \mathbf {DC}_{\lambda})\Leftrightarrow \mathbf {AC}$

Para los axiomas , existen debilitamientos equivalentes correspondientes del lema de Zorn: ${\ estilo de visualización \ mathbf {DC} _ {\ lambda}}$

si en un conjunto parcialmente ordenado todas las cadenas están completamente ordenadas, tienen un tipo de orden menor que y tienen un límite superior, entonces el conjunto tiene un elemento máximo [5] ; $\lambda$
si en un conjunto parcialmente ordenado cada cadena bien ordenada tiene un tipo de orden menor que y tiene un límite superior, entonces el conjunto tiene un elemento máximo [5] . $\lambda$

Notas

↑ 12 Wolk , 1983 , pág. 365.
↑ Blair, 1977 .
↑ Moore, 1982 , pág. 325.
↑ Boolos, 1989 , pág. 155.
↑ 1 2 3 4 Wolk, 1983 , pág. 366.
↑ Wolk, 1983 , pág. 367.

Literatura

Wolk Elliot S. Sobre el principio de las elecciones dependientes y algunas formas del lema de Zorn (inglés) // Canadian Mathematical Bulletin: revista. - 1983. - vol. 26 , núm. 3 . — pág. 365–367 . -doi : 10.4153 / CMB-1983-062-5 .
Blair Charles E. El teorema de la categoría de Baire implica el principio de elecciones dependientes // Bull. Academia Polon. ciencia Ser. ciencia Matemáticas. Astron. física : revista. - 1977. - T. 25 , N º 10 . — S. 933–934 .
El axioma de elección de Moore Gregory H. Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia. - Springer, 1982. - ISBN 0-387-90670-3 .
Boolos George S., Jeffrey Richard C. Computabilidad y lógica. — 3er. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1989. - ISBN 0-521-38026-X .