Axioma de elección contable
El axioma de elección contable es un axioma de la teoría de conjuntos , generalmente denotado El axioma establece que para cualquier familia contable de conjuntos no vacíos, existe una " función de elección " que extrae de cada conjunto uno y solo uno de sus elementos. En otras palabras, para una secuencia de conjuntos no vacíos , se puede construir una secuencia de sus representantes , mientras que los conjuntos pueden ser infinitos e incluso incontables [1] .
El lugar del axioma en las matemáticas
El axioma de elección contable es una versión limitada del axioma de elección completo ( ), a diferencia de este último, afirma la existencia de una función de elección solo para una familia contable de conjuntos. Como demostró Paul Cohen , el axioma de elección contable es independiente de otros axiomas de la teoría de conjuntos (sin el axioma de elección) [2] . A diferencia del axioma de elección completo, el axioma de elección contable no conduce a la paradoja de la bola que se duplica ni a otras consecuencias contrarias a la intuición.
El axioma de elección contable es suficiente para justificar los principales teoremas de análisis . De ello se deduce, en particular [3] :
- para cualquier punto límite existe una secuencia que converge a él;
- la medida de Lebesgue es contablemente aditiva;
- todo conjunto infinito contiene un subconjunto contable.
Sin embargo, una parte importante de los enunciados de la teoría de conjuntos no se puede demostrar utilizando el axioma de elección contable. Por ejemplo, para probar que todo conjunto puede estar bien ordenado , se requiere un axioma de elección completo.
Hay una versión un poco más fuerte llamada " axioma de elección dependiente " ( ). De ahí se sigue el axioma de elección contable, así como el axioma de determinismo ( ).
Literatura
- Aleksandrov PS Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. — M .: Nauka, 1977. — 368 p. — Capítulo 3, § 4.
- Kanovey VG El axioma de elección y el axioma de determinismo. — M .: Nauka, 1984. — 64 p. — (Problemas de la ciencia y del progreso técnico).
- Medvedev F. A. Historia temprana del axioma de elección . — M .: Nauka, 1982. — 304 p. Archivado el 28 de octubre de 2015 en Wayback Machine .
- Medvedev F. A. El axioma de elección y análisis matemático // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1980. - Nº 25 . — Art. 167-188 .
- Libro de referencia sobre lógica matemática. Parte II. Teoría de conjuntos = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss.- M .: Nauka , 1983. - 392 p.
- Herrlich, Horst. Principios de elección en topología y análisis elementales (inglés) // Comment.Math.Univ.Carolinae. - 1997. - vol. 38, núm. 3 . — Pág. 545.
- Potter, Michael. La teoría de conjuntos y su filosofía: una introducción crítica . - Oxford University Press, 2004. - ISBN 9780191556432 . (Inglés)
Notas
- ↑ Kanovey VG, 1984 , p. 9.
- ↑ Potter, 2004 , pág. 164.
- ↑ Kanovey VG, 1984 , p. 6, 9.