Axioma de par

El axioma [de la existencia de un par desordenado] es el siguiente enunciado de la teoría de conjuntos :

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

A saber: "De dos conjuntos cualesquiera [idénticos o diferentes], uno puede formar [al menos un]" par desordenado ", es decir, un conjunto de este tipo , cada elemento del cual es idéntico a un conjunto dado oa un conjunto dado ". $C$ $b$ $un_{1}$ $un_{2}$

Otras formulaciones del axioma del par

$\forall a_{1}\forall a_{2}\existe c\ (c=\{b:\ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\}\ )$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\notin c\ \leftrightarrow \ b\neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (a_{1}\in c\ \land \ a_{2}\in c\quad \land \quad \forall b\ (b \neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2}\to b\notin c)\ )$

Notas

1. El axioma del par se puede deducir del esquema de transformación

$\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\ \land \ c=\mathrm {f} (b)\ ))$ , si ponemos y elegimos una función tal que . $a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnada))$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {f}}$ $c=\mathrm {f} (b)\ \Leftrightarrow \ (b=\varnothing \to c=a_{1})\land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})$

2. Guiándose por el axioma del volumen , se puede probar la unicidad del par [desordenado]. En otras palabras, se puede probar que el axioma del par es equivalente al enunciado

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2})

, que es

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall c'\ (\forall b\ (b\in c'\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2} )\ \leftrightarrow c=c')

La última afirmación nos permite afirmar lo siguiente: “De dos conjuntos cualesquiera [idénticos o diferentes], solo se puede formar un “par no ordenado”, es decir, un conjunto tal , cada elemento del cual es idéntico a un conjunto dado o un conjunto dado . $C$ $b$ $un_{1}$ $un_{2}$

3. Del axioma de un par , se puede derivar un teorema sobre la existencia de un conjunto de un elemento:

\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)

Véase también

Axiomática de la teoría de conjuntos