Álgebra Temperley-Liba

Álgebra Temperley-Lieb - álgebra , con la ayuda de la cual se construyen algunas matrices de transferencia. Descubierto por Neville Temperleyy Elliot Lieb . El álgebra se aplica en mecánica estadística , en la teoría de modelos integrables, es relevante para la teoría de nudos y grupos de trenzas , grupos cuánticos y subfactores de álgebras de von Neumann .

Definición

Sea un anillo conmutativo (la mayoría de las veces, el campo de los números reales ) en el que el elemento está fijo . El álgebra de Temperley-Lieb se llama - un álgebra formada por generadores que obedecen a las relaciones de Jones : $R$ ${\ estilo de visualización \ delta \ en R}$ $TL_{n}(\delta )$ $R$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots,U_{n-1))$

$U_{i}^{2}=\delta U_{i}$ a ${\ estilo de visualización 1 \ leq i \ leq n-1}$
$U_{i}U_{i+1}U_{i}=U_{i}$ a ${\ estilo de visualización 1 \ leq i \ leq n-2}$
$U_{i}U_{i-1}U_{i}=U_{i}$ a $2\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{j}=U_{j}U_{i}$ en , tal que ${\ estilo de visualización 1 \ leq i, j \ leq n-1}$ ${\ estilo de visualización | ij | \ neq 1}$

$TL_{n}(\delta )$ se puede representar como un espacio vectorial , con vectores base, cada uno de los cuales es un diagrama en forma de cuadrado, en dos lados opuestos del cual hay puntos. Los puntos forman n pares, cada par está conectado por una curva y no hay dos curvas que se crucen. Los cinco vectores base se ven así: $norte$ $TL_{3}(\delta )$

La multiplicación de dos elementos básicos se produce conectando dos cuadrados de extremo a extremo, después de que cada ciclo resultante dé un factor δ . Por ejemplo,

× = = δ .

El elemento unidad es un diagrama con n líneas horizontales, y el generador es un diagrama en el que el i -ésimo vértice está conectado al i + 1 -ésimo, 2n - i + 1 -ésimo punto - al 2n - i -ésimo punto, y todos los demás puntos están conectados con opuestos. Por ejemplo, los generadores son: $tu_{i}$ $TL_{5}(\delta )$

De izquierda a derecha: elemento idéntico (uno) y generadores U 1 , U 2 , U 3 , U 4 .

Las razones de Jones se pueden representar gráficamente:

= d

Enlaces

Louis H. Kauffman , Modelos de estado y el polinomio de Jones. Archivado el 8 de diciembre de 2019 en Wayback Machine Topology, 26(3):395-407, 1987.
RJ Baxter , Modelos resueltos exactamente en mecánica estadística . Archivado el 20 de marzo de 2012 en Wayback Machine Academic Press Inc., 1982.
N. Temperley, E. Lieb , Relaciones entre el problema de percolación y coloración y otros problemas de teoría de grafos asociados con redes planas regulares: algunos resultados exactos para el problema de percolación. Actas de la Royal Society Serie A 322 (1971), 251-280.